Sendo o ângulo \theta definido como razão entre o comprimento do arco e o raio, mostre que
\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} \theta}{\theta}=1 .

Passo 1

O enunciado dá a definição de ângulo em radianos: o ângulo \theta é a razão entre o comprimento do arco e o raio. Pede para mostrar que
\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1.
Informação importante: por usar comprimento de arco dividido por raio, \theta está sendo medido em radianos. O objetivo é provar o limite quando \theta tende a zero.

Passo 2

Vamos trabalhar no círculo de raio 1 (unidade) — chamado de círculo unitário — porque aí o comprimento do arco entre dois pontos subtendendo um ângulo \theta no centro é exatamente \theta. Defina:
  • O o centro do círculo (origem),
  • A=(1,0) o ponto no eixo x à direita,
  • B=(\cos\theta,\sin\theta) o ponto no círculo que forma ângulo \theta com o eixo x, com 0<\theta<\tfrac{\pi}{2}.
Esses pontos permitem comparar figuras geométricas (triângulos e setor circular) cuja área se relaciona com \sin\theta,\theta,\tan\theta.

Passo 3

Calcule as áreas relevantes (todas para o círculo unitário, raio r=1):
  1. Área do triângulo OAB. O triângulo tem dois lados de comprimento 1 e ângulo entre eles \theta. A fórmula da área de um triângulo com lados a,b e ângulo \theta entre eles é \tfrac{1}{2}ab\sin\theta. Aqui a=b=1, então
\text{área}(OAB)=\frac{1}{2}\sin\theta.á
  1. Área do setor circular OAB (o pedaço de pizza subtendido por \theta). A área de um setor de círculo de raio r é \tfrac{1}{2}r^{2}\theta. Com r=1,
\text{área do setor}= \frac{1}{2}\theta.á
  1. Área do triângulo formado pelo centro O, pelo ponto A=(1,0) e pelo ponto T onde a reta que passa por O e B corta a linha tangente ao círculo em A. A reta OB tem equação y=(\tan\theta)x (pois seu ângulo com o eixo x é \theta), e a tangente vertical em A é x=1. A interseção é T=(1,\tan\theta). O triângulo OAT tem base OA=1 e altura \tan\theta, então sua área é
\text{área}(OAT)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \tan\theta=\frac{1}{2}\tan\theta.á

Passo 4

Comparando as três figuras para 0<\theta<\tfrac{\pi}{2}: o triângulo menor OAB está contido no setor, que por sua vez está contido no triângulo maior OAT. Logo,
\frac{1}{2}\sin\theta \;<\; \frac{1}{2}\theta \;<\; \frac{1}{2}\tan\theta.
Multiplicando tudo por 2 (positivo) obtemos a desigualdade clássica
\sin\theta \;<\; \theta \;<\; \tan\theta \qquad\text{para }0<\theta<\tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Manipule a desigualdade para isolar \dfrac{\sin\theta}{\theta}. Como \sin\theta>0 nesse intervalo, divida todos os termos por \sin\theta:
1 \;<\; \frac{\theta}{\sin\theta} \;<\; \frac{1}{\cos\theta}.
Inverta agora as três quantidades (todas positivas), lembrando que ao inverter uma desigualdade estrita entre positivas a direção se inverte:
\cos\theta \;<\; \frac{\sin\theta}{\theta} \;<\; 1.

Passo 6

Aplicando o teorema do confronto (squeeze theorem). Sabemos que
\lim_{\theta\to 0^{+}}\cos\theta = 1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{\theta\to 0^{+}}1 = 1.
Pela desigualdade do Passo 5, para 0<\theta<\tfrac{\pi}{2} tem-se \cos\theta \le \dfrac{\sin\theta}{\theta} \le 1. Como os limites das funções-limite (inferior e superior) são ambos 1 quando \theta\to 0^{+}, o teorema do confronto dá
\lim_{\theta\to 0^{+}}\frac{\sin\theta}{\theta}=1.

Passo 7

Trate o lado negativo (aproximação por \theta\to 0^{-}). A função \sin é ímpar, isto é \sin(-\theta)=-\sin\theta. Então para \theta\neq 0
\frac{\sin(-\theta)}{-\theta}=\frac{-\sin\theta}{-\theta}=\frac{\sin\theta}{\theta}.
Isso mostra que o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita. Logo o limite bilateral existe e é o mesmo:
\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1.

Resposta

1

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