Sendo o ângulo
definido como razão entre o comprimento do arco e o raio, mostre que
Passo 1
O enunciado dá a definição de ângulo em radianos: o ângulo
é a razão entre o comprimento do arco e o raio. Pede para mostrar que
Informação importante: por usar comprimento de arco dividido por raio,
está sendo medido em radianos. O objetivo é provar o limite quando
tende a zero.
Passo 2
Vamos trabalhar no círculo de raio
(unidade) — chamado de círculo unitário — porque aí o comprimento do arco entre dois pontos subtendendo um ângulo
no centro é exatamente
. Defina:
-
o centro do círculo (origem), -
o ponto no eixo à direita, -
o ponto no círculo que forma ângulo com o eixo , com .
Esses pontos permitem comparar figuras geométricas (triângulos e setor circular) cuja área se relaciona com
.
Passo 3
Calcule as áreas relevantes (todas para o círculo unitário, raio
):
- Área do triângulo
. O triângulo tem dois lados de comprimento e ângulo entre eles . A fórmula da área de um triângulo com lados e ângulo entre eles é . Aqui , então
- Área do setor circular
(o pedaço de pizza subtendido por ). A área de um setor de círculo de raio é . Com ,
- Área do triângulo formado pelo centro
, pelo ponto e pelo ponto onde a reta que passa por e corta a linha tangente ao círculo em . A reta tem equação (pois seu ângulo com o eixo é ), e a tangente vertical em é . A interseção é . O triângulo tem base e altura , então sua área é
Passo 4
Comparando as três figuras para
: o triângulo menor
está contido no setor, que por sua vez está contido no triângulo maior
. Logo,
Multiplicando tudo por
(positivo) obtemos a desigualdade clássica
Passo 5
Manipule a desigualdade para isolar
. Como
nesse intervalo, divida todos os termos por
:
Inverta agora as três quantidades (todas positivas), lembrando que ao inverter uma desigualdade estrita entre positivas a direção se inverte:
Passo 6
Aplicando o teorema do confronto (squeeze theorem). Sabemos que
Pela desigualdade do Passo 5, para
tem-se
. Como os limites das funções-limite (inferior e superior) são ambos
quando
, o teorema do confronto dá
Passo 7
Trate o lado negativo (aproximação por
). A função
é ímpar, isto é
. Então para
Isso mostra que o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita. Logo o limite bilateral existe e é o mesmo: