Uma LT com impedância característica \mathrm{Z} 0=50 \Omega. é terminada por uma carga \mathrm{ZL}=200+\mathrm{j} 100 \Omega. Determine:
a) o módulo do coeficiente de reflexão |\boldsymbol{\Gamma}|;
b) o ângulo de fase \boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{L}};
c) o coeficiente de onda estacionária S .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Dados fornecidos:
\mathrm{Z_0}=50\\ \Omega
\mathrm{Z_L}=200+\mathrm{j}\,100\\ \Omega
  • O que se pede:
    (a) o módulo do coeficiente de reflexão |\Gamma|;\n
    (b) o ângulo de fase \theta_{L} do coeficiente de reflexão;\n
    (c) o coeficiente de onda estacionária S.

Passo 2

Fórmula básica e interpretação (explicação didática): o coeficiente de reflexão \Gamma na carga é dado por
\Gamma=\frac{\mathrm{Z_L}-\mathrm{Z_0}}{\mathrm{Z_L}+\mathrm{Z_0}}.
Aqui \mathrm{Z_L} e \mathrm{Z_0} são impedâncias complexas (podem ter parte real e imaginária). Para manipular frações complexas podemos:
  • escrever numerador e denominador em forma a+\mathrm{j}b e usar multiplicação pelo conjugado do denominador, ou
  • escrever cada um em módulo-fase e usar divisão direta de módulos e subtração das fases.
    Vou usar o método do conjugado (retangular) porque é fácil de seguir passo a passo sem precisar de muita trigonometria.
Calculemos numerador e denominador em forma retangular:
\mathrm{Z_L}-\mathrm{Z_0}=(200+\mathrm{j}100)-50=150+\mathrm{j}100,
\mathrm{Z_L}+\mathrm{Z_0}=(200+\mathrm{j}100)+50=250+\mathrm{j}100.

Passo 3

Dividindo os complexos pelo método do conjugado:
\Gamma=\frac{150+\mathrm{j}100}{250+\mathrm{j}100} =\frac{(150+\mathrm{j}100)(250-\mathrm{j}100)}{(250+\mathrm{j}100)(250-\mathrm{j}100)}.
Calcule o denominador (módulo quadrado do denominador original):
(250+\mathrm{j}100)(250-\mathrm{j}100)=250^{2}+100^{2}=62500+10000=72500.
Calcule o numerador usando a identidade (a+\mathrm{j}b)(c-\mathrm{j}d)=(ac+bd)+\mathrm{j}(bc-ad), com a=150,b=100,c=250,d=100:
ac+bd=150\cdot250+100\cdot100=37500+10000=47500,
bc-ad=100\cdot250-150\cdot100=25000-15000=10000.
Logo o numerador é 47500+\mathrm{j}10000. Portanto
\Gamma=\frac{47500+\mathrm{j}10000}{72500}=0{,}6551724+\mathrm{j}\,0{,}1379310\\ \\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Cálculo do módulo |\Gamma|. Dois caminhos equivalentes; eu mostro o mais direto (razão dos módulos):
módulo do numerador original (antes da multiplicação pelo conjugado) é
|\mathrm{Z_L}-\mathrm{Z_0}|=\sqrt{150^{2}+100^{2}}=\sqrt{22500+10000}=\sqrt{32500}=180{,}27756\ldots
módulo do denominador original é
|\mathrm{Z_L}+\mathrm{Z_0}|=\sqrt{250^{2}+100^{2}}=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}=269{,}25824\ldots
como |\Gamma|=\dfrac{|\mathrm{Z_L}-\mathrm{Z_0}|}{|\mathrm{Z_L}+\mathrm{Z_0}|}, temos
|\Gamma|=\frac{180{,}27756\ldots}{269{,}25824\ldots}=0{,}669452\ldots
Verificação alternativa: usar |\Gamma|=\sqrt{(\Re\Gamma)^{2}+(\Im\Gamma)^{2}}=\sqrt{0{,}6551724^{2}+0{,}1379310^{2}}, que dá o mesmo valor.

Passo 5

Cálculo do ângulo de fase \theta_{L}=\arg(\Gamma).
Método por diferença de argumentos (mais didático aqui):
\arg(\mathrm{Z_L}-\mathrm{Z_0})=\arctan\!\left(\frac{100}{150}\right)=\arctan\!(0{,}6666667)=33{,}690067^\circ,
\arg(\mathrm{Z_L}+\mathrm{Z_0})=\arctan\!\left(\frac{100}{250}\right)=\arctan\!(0{,}4)=21{,}801409^\circ.
Como \Gamma é a divisão dos dois complexos, o argumento é a diferença:
\theta_{L}=\arg(\Gamma)=33{,}690067^\circ-21{,}801409^\circ=11{,}888658^\circ\approx11{,}89^\circ.
(Verificação: usando a forma retangular \Gamma\approx0{,}65517+\mathrm{j}0{,}13793, \theta=\arctan(0{,}13793/0{,}65517)=\arctan(0{,}2106)\approx11{,}89^\circ, mesmo resultado.)

Passo 6

Cálculo da razão de onda estacionária S (SWR). Fórmula e interpretação:
S=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}
Isso mede o máximo relativo de tensão na linha; S=1 indica adaptação perfeita, S>1 indica desajuste. Usando |\Gamma|=0{,}669452\ldots,
S=\frac{1+0{,}669452\ldots}{1-0{,}669452\ldots}=\frac{1{,}669452\ldots}{0{,}330548\ldots}=5{,}0486\ldots
Arredondando, S\approx5{,}05.

Resposta

(a) |\Gamma|=0{,}66945 \
(b) \theta_{L}=11{,}89^\circ \
(c) S=5{,}0486

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