Qual é o comprimento de onda abaixo do qual estão concentrados
da emissão para um corpo negro que está a 2000 K
Passo 1
O que o exercício pede: encontrar o comprimento de onda
abaixo do qual estão concentrados
da emissão de um corpo negro à temperatura
.
Informações dadas:
- Temperatura:
. - Fração de energia (integrada em comprimento de onda) abaixo de
: . - Queremos
tal que a energia irradiada em seja da energia total.
Passo 2
A Física que vamos usar (explicação didática e simples):
- A distribuição espectral de um corpo negro por unidade de comprimento de onda é dada pela lei de Planck:
onde:
-
é a constante de Planck ( ), -
é a velocidade da luz ( ), -
é a constante de Boltzmann ( ), -
é o comprimento de onda, -
é a temperatura. - A energia total emitida (por unidade de área, por unidade de tempo) é a integral
. A fração de energia abaixo de é
Nossa missão é achar
tal que
.
Passo 3
Transformação para variável adimensional (isso simplifica muito e faz a fração depender só de um número sem dimensão):
- Defina a variável adimensional
Com essa mudança
e
- Substituindo em
e simplificando (faço devagar para você entender cada termo):
- Ao integrar de
até isso corresponde a integrar de até , onde
Trocando os sinais das integrais, a fração torna-se independente de
e de constantes físicas (apenas depende de
):
Passo 4
Avaliação da integral total no denominador (uma identidade conhecida, explicada de forma simples):
- A integral do denominador é uma integral padrão:
onde
é a função gama (gera fatoriais) e
é a função zeta de Riemann; o resultado numérico é
- Logo a equação que determina
(o parâmetro adimensional correspondente à ) é
Com
obtemos o lado direito numérico
Passo 5
Como resolver numericamente a integral para achar
(método prático e rápido para prova):
- Use a expansão em série útil para problemas com
:
Substituindo, a integral vira soma de integrais elementares:
- Cada integral pode ser feita em forma fechada (fácil de lembrar ou deduzir com integração por partes ou mudança de variável):
- Assim definimos a soma
que deve ser igual a
. Na prática, para
esta série converge muito rápido: os termos com
são bem pequenos, então somando 2–3 termos já dá boa precisão para prova.
Passo 6
Avaliação numérica rápida (vou calcular dois valores próximos e interpolar — é um método prático na prova se você não tem calculadora sofisticada):
- Calcule
somando os primeiros termos: - Para
: , , . Soma interna (para ) . -
. Então o termo dá . - Termo
dá . Termo dá . Os demais são negligíveis. - Soma
.
- Para
- Calcule
do mesmo jeito: - Para
obtemos , , . - Soma
.
- Para
- Observação: queremos
. Temos -
(um pouco maior que 2{,}1420), -
(um pouco menor).
-
- Interpolando linearmente entre
e (passo pequeno, linearização razoável) obtemos:
Portanto
.
Passo 7
Voltar para
(usar constante prática e cálculo final, explicado devagar):
- Lembrando a definição
, isolamos
- O valor conhecido e útil
vale aproximadamente (esse número aparece muitas vezes em radiação térmica; decorar ajuda muito). - Substituindo
e :
- Faça a conta passo a passo:
-
. -
.
-
- Em unidades mais amigáveis:
.
Passo 8
Interpretação final curta e incentivo:
- Então o comprimento de onda abaixo do qual está concentrado
da emissão para um corpo negro a é aproximadamente . - Bom trabalho — essa derivação é a que você deve tentar reproduzir na prova: escrever a mudança adimensional, reduzir à integral padrão e então resolver numericamente o parâmetro
. Dá um pouco de trabalho com contas, mas é método direto e confiável.