Qual é o comprimento de onda abaixo do qual estão concentrados 33 \% da emissão para um corpo negro que está a 2000 K

Passo 1

O que o exercício pede: encontrar o comprimento de onda \lambda abaixo do qual estão concentrados 33\% da emissão de um corpo negro à temperatura T=2000\\ \mathrm{K}.
Informações dadas:
  • Temperatura: T=2000\\ \mathrm{K}.
  • Fração de energia (integrada em comprimento de onda) abaixo de \lambda: f=0{,}33.
  • Queremos \lambda tal que a energia irradiada em [0,\lambda] seja 33\% da energia total.

Passo 2

A Física que vamos usar (explicação didática e simples):
  • A distribuição espectral de um corpo negro por unidade de comprimento de onda é dada pela lei de Planck:
B_\lambda(T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1},
onde:
  • h é a constante de Planck ( 6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}),
  • c é a velocidade da luz ( 2{,}998\times10^8\\ \mathrm{m/s}),
  • k é a constante de Boltzmann ( 1{,}381\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}),
  • \lambda é o comprimento de onda,
  • T é a temperatura.
  • A energia total emitida (por unidade de área, por unidade de tempo) é a integral \int_0^\infty B_\lambda(T)\,d\lambda. A fração de energia abaixo de \lambda_0 é
f(\lambda_0)=\frac{\displaystyle\int_0^{\lambda_0} B_\lambda(T)\,d\lambda}{\displaystyle\int_0^{\infty} B_\lambda(T)\,d\lambda}.
Nossa missão é achar \lambda_0 tal que f(\lambda_0)=0{,}33.

Passo 3

Transformação para variável adimensional (isso simplifica muito e faz a fração depender só de um número sem dimensão):
  • Defina a variável adimensional
x=\frac{hc}{\lambda kT}.
Com essa mudança \lambda=\dfrac{hc}{kT x} e
d\lambda=-\frac{hc}{kT}x^{-2}dx.
  • Substituindo em B_\lambda\,d\lambda e simplificando (faço devagar para você entender cada termo):
B_\lambda\,d\lambda = \frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{x}-1}\,d\lambda = -\frac{2(kT)^4}{h^3 c^2}\,\frac{x^3}{e^{x}-1}\,dx.
  • Ao integrar de \lambda=0 até \lambda=\lambda_0 isso corresponde a integrar x de +\infty até x_0, onde
x_0=\frac{hc}{\lambda_0 k T}.
Trocando os sinais das integrais, a fração torna-se independente de T e de constantes físicas (apenas depende de x_0):
f(x_0)=\frac{\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}\dfrac{x^3}{e^{x}-1}\,dx}{\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{x^3}{e^{x}-1}\,dx}.

Passo 4

Avaliação da integral total no denominador (uma identidade conhecida, explicada de forma simples):
  • A integral do denominador é uma integral padrão:
\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^{x}-1}\,dx=\Gamma(4)\,\zeta(4)=6\cdot\frac{\pi^4}{90}=\frac{\pi^4}{15},
onde \Gamma é a função gama (gera fatoriais) e \zeta é a função zeta de Riemann; o resultado numérico é
\frac{\pi^4}{15}\approx 6{,}4939394.
  • Logo a equação que determina x_0 (o parâmetro adimensional correspondente à \lambda_0) é
\int_{x_0}^{\infty}\frac{x^3}{e^{x}-1}\,dx = f\cdot\frac{\pi^4}{15}.
Com f=0{,}33 obtemos o lado direito numérico
f\cdot\frac{\pi^4}{15}\approx 0{,}33\times6{,}4939394\approx2{,}14200.

Passo 5

Como resolver numericamente a integral para achar x_0 (método prático e rápido para prova):
  • Use a expansão em série útil para problemas com e^x-1:
\frac{1}{e^{x}-1}=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n x}.
Substituindo, a integral vira soma de integrais elementares:
\int_{x_0}^{\infty}\frac{x^3}{e^{x}-1}\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}\int_{x_0}^{\infty} x^3 e^{-n x}\,dx.
  • Cada integral pode ser feita em forma fechada (fácil de lembrar ou deduzir com integração por partes ou mudança de variável):
\int_{x_0}^{\infty} x^3 e^{-n x}\,dx = e^{-n x_0}\left(\frac{x_0^3}{n}+\frac{3x_0^2}{n^2}+\frac{6x_0}{n^3}+\frac{6}{n^4}\right).
  • Assim definimos a soma
S(x_0)=\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n x_0}\left(\frac{x_0^3}{n}+\frac{3x_0^2}{n^2}+\frac{6x_0}{n^3}+\frac{6}{n^4}\right),
que deve ser igual a 2{,}14200. Na prática, para x_0\gtrsim4 esta série converge muito rápido: os termos com n\ge2 são bem pequenos, então somando 2–3 termos já dá boa precisão para prova.

Passo 6

Avaliação numérica rápida (vou calcular dois valores próximos e interpolar — é um método prático na prova se você não tem calculadora sofisticada):
  • Calcule S(4{,}42) somando os primeiros termos:
    • Para x_0=4{,}42: x_0^3=86{,}322, 3x_0^2=58{,}6092, 6x_0=26{,}52. Soma interna (para n=1) \approx177{,}4512.
    • e^{-4{,}42}\approx0{,}012036. Então o termo n=1 T_1\approx2{,}1359.
    • Termo n=2 T_2\approx0{,}0089. Termo n=3 T_3\approx0{,}00006. Os demais são negligíveis.
    • Soma S(4{,}42)\approx2{,}1359+0{,}0089+0{,}00006\approx2{,}1449.
  • Calcule S(4{,}43) do mesmo jeito:
    • Para x_0=4{,}43 obtemos T_1\approx2{,}1239, T_2\approx0{,}0087, T_3\approx0{,}00006.
    • Soma S(4{,}43)\approx2{,}1327.
  • Observação: queremos S(x_0)=2{,}14200. Temos
    • S(4{,}42)\approx2{,}1449 (um pouco maior que 2{,}1420),
    • S(4{,}43)\approx2{,}1327 (um pouco menor).
  • Interpolando linearmente entre x_0=4{,}42 e 4{,}43 (passo pequeno, linearização razoável) obtemos:
x_0\approx4{,}42 + \frac{2{,}1449-2{,}1420}{2{,}1449-2{,}1327}\times0{,}01 \approx 4{,}4224.
Portanto x_0\approx4{,}4224.

Passo 7

Voltar para \lambda_0 (usar constante prática e cálculo final, explicado devagar):
  • Lembrando a definição x_0=\dfrac{hc}{\lambda_0 k T}, isolamos
\lambda_0=\frac{hc}{kT x_0}.
  • O valor conhecido e útil \dfrac{hc}{k} vale aproximadamente 1{,}4387769\times10^{-2}\\ \mathrm{m\cdot K} (esse número aparece muitas vezes em radiação térmica; decorar ajuda muito).
  • Substituindo T=2000\\ \mathrm{K} e x_0\approx4{,}4224:
\lambda_0=\frac{1{,}4387769\times10^{-2}}{2000\cdot 4{,}4224}\\ \mathrm{m}.
  • Faça a conta passo a passo:
    • 2000\cdot 4{,}4224=8844{,}8.
    • \lambda_0\approx\frac{0{,}014387769}{8844{,}8}\\ \mathrm{m}\approx1{,}626\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Em unidades mais amigáveis: \lambda_0\approx1{,}626\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação final curta e incentivo:
  • Então o comprimento de onda abaixo do qual está concentrado 33\% da emissão para um corpo negro a 2000\\ \mathrm{K} é aproximadamente \lambda_0\approx1{,}63\\ \mu\mathrm{m}.
  • Bom trabalho — essa derivação é a que você deve tentar reproduzir na prova: escrever a mudança adimensional, reduzir à integral padrão e então resolver numericamente o parâmetro x_0. Dá um pouco de trabalho com contas, mas é método direto e confiável.

Resposta

\lambda \approx 1{,}63\\ \mu\mathrm{m} = 1{,}63\times10^{-6}\\ \mathrm{m}

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