Determine a porcentagem do poder emissivo total entre os comprimentos de onda entre
e 1,5
m para um corpo negro que está a 2000 K
Passo 1
O enunciado pede: determinar a porcentagem do poder emissivo total (ou seja, a fração da energia total emitida pelo corpo negro em todas as direções por unidade de área) que está entre os comprimentos de onda
e
para um corpo negro à temperatura
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Intervalo de comprimentos de onda:
e
.\n
Temperatura:
.\n
Queremos a porcentagem do poder emissivo total (ou seja, a fração da potência total
que está entre esses comprimentos de onda).\n
Nada mais é pedido além dessa fração em porcentagem.
Informações relevantes fornecidas:
Nada mais é pedido além dessa fração em porcentagem.
Passo 2
Vamos agora entender a teoria que usamos (passo-a-passo, sem pular nada): Planck dá a distribuição espectral do poder emissivo (saída por unidade de comprimento de onda) de um corpo negro. A expressão para a emissividade espectral por unidade de comprimento de onda (mais precisamente, a exitância espectral) é
onde:
-
é a potência emitida por unidade de área por unidade de comprimento de onda em , -
é a constante de Planck ( ), -
é a velocidade da luz ( ), -
é a constante de Boltzmann ( ), -
é a temperatura em kelvin, -
é o comprimento de onda em metros.\n
A potência total emitida por unidade de área (integrada sobre todos os comprimentos de onda) é dada pela lei de Stefan–Boltzmann:
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann.
Passo 3
Queremos a fração do poder total entre
e
. Em termos integrais:
Para tornar essa integral universal (independente das constantes explícitas) e mais fácil de calcular, fazemos a mudança de variável adimensional
onde
. Note que
pequeno corresponde a
grande e vice-versa. Ao fazer a mudança e manipular as constantes (segue o cálculo algébrico padrão), chega-se à fórmula conhecida para a fração acumulada até um comprimento de onda
:
onde
. Em palavras: a fração emitida para comprimentos de onda menores ou iguais a
é dada por essa integral adimensional.\n
Portanto a fração entre e
é
Portanto a fração entre
com
e
.
Passo 4
Agora vamos calcular os valores adimensionais
e
para os dados do problema. Use
em metros e
em
.\n
Dados: e
.\n
Calcule:
Dados:
Calcule:
Passo 5
Precisamos avaliar as integrais
em
e
. Uma forma prática e precisa de calcular
numericamente é usar a expansão em série
que permite escrever
A integral exponencial tem expressão fechada (integração por partes repetida):
Portanto
Para valores de
da ordem de
a
a série converge muito rápido: o termo
domina, o
já é pequeno e os demais são praticamente desprezáveis.
Passo 6
Vamos calcular numericamente
com
.\n
Primeiro calculemos algumas quantidades:
Primeiro calculemos algumas quantidades:
Agora os termos da soma:
Para
:
Produto:
Para
:
Para
e maiores os contribuições são
e podem ser desprezadas ao nível de precisão pedido. Somando:
Passo 7
Agora calcule
com
.\n
Quantidades:
Quantidades:
Termos:
Para
:
Produto:
Para
:
Os termos com
são
. Assim
Passo 8
Agora usamos a constante frontal
para obter as frações acumuladas. Primeiro calculamos o fator:
Multiplicando:
Para
(ou seja
):
Para
(ou seja
):
Passo 9
A fração do poder emissivo total entre
e
é
Convertendo para porcentagem: