Determine a porcentagem do poder emissivo total entre os comprimentos de onda entre 1,2 \mu \mathrm{~m} e 1,5 \boldsymbol{\mu} m para um corpo negro que está a 2000 K

Passo 1

O enunciado pede: determinar a porcentagem do poder emissivo total (ou seja, a fração da energia total emitida pelo corpo negro em todas as direções por unidade de área) que está entre os comprimentos de onda 1,2\\ \mu\mathrm{m} e 1,5\\ \mu\mathrm{m} para um corpo negro à temperatura 2000\\ \mathrm{K}.\n
Informações relevantes fornecidas:
1. Intervalo de comprimentos de onda: \lambda_1 = 1,2\\ \mu\mathrm{m} e \lambda_2 = 1,5\\ \mu\mathrm{m}.\n
2. Temperatura: T = 2000\\ \mathrm{K}.\n
3. Queremos a porcentagem do poder emissivo total (ou seja, a fração da potência total \sigma T^4 que está entre esses comprimentos de onda).\n
Nada mais é pedido além dessa fração em porcentagem.

Passo 2

Vamos agora entender a teoria que usamos (passo-a-passo, sem pular nada): Planck dá a distribuição espectral do poder emissivo (saída por unidade de comprimento de onda) de um corpo negro. A expressão para a emissividade espectral por unidade de comprimento de onda (mais precisamente, a exitância espectral) é
M_\lambda(\lambda,T)=\frac{2\pi h c^2}{\lambda^5}\cdot\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1},
onde:
  • M_\lambda(\lambda,T) é a potência emitida por unidade de área por unidade de comprimento de onda em \mathrm{W\,m^{-2}\,m^{-1}},
  • h é a constante de Planck ( h\approx 6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}),
  • c é a velocidade da luz ( c\approx 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}),
  • k é a constante de Boltzmann ( k\approx 1{,}381\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}),
  • T é a temperatura em kelvin,
  • \lambda é o comprimento de onda em metros.\n
    A potência total emitida por unidade de área (integrada sobre todos os comprimentos de onda) é dada pela lei de Stefan–Boltzmann:
M=\sigma T^4,
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann.

Passo 3

Queremos a fração do poder total entre \lambda_1 e \lambda_2. Em termos integrais:
\text{fração}=\frac{\displaystyle\int_{\lambda_1}^{\lambda_2} M_\lambda(\lambda,T)\,d\lambda}{\sigma T^4}.çã
Para tornar essa integral universal (independente das constantes explícitas) e mais fácil de calcular, fazemos a mudança de variável adimensional
x=\frac{hc}{\lambda k T}=\frac{C_2}{\lambda T},
onde C_2=\dfrac{hc}{k}\approx 1{,}4387769\times10^{-2}\\ \mathrm{m\cdot K}. Note que \lambda pequeno corresponde a x grande e vice-versa. Ao fazer a mudança e manipular as constantes (segue o cálculo algébrico padrão), chega-se à fórmula conhecida para a fração acumulada até um comprimento de onda \lambda_0:
F(\lambda_0 T)=\frac{1}{\sigma T^4}\int_0^{\lambda_0} M_\lambda(\lambda,T)\,d\lambda=\frac{15}{\pi^4}\int_{x_0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}\,dx,
onde x_0=\dfrac{C_2}{\lambda_0 T}. Em palavras: a fração emitida para comprimentos de onda menores ou iguais a \lambda_0 é dada por essa integral adimensional.\n
Portanto a fração entre \lambda_1 e \lambda_2 é
\text{fração} = F(\lambda_2 T)-F(\lambda_1 T)=\frac{15}{\pi^4}\left(\int_{x_2}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}\,dx-\int_{x_1}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}\,dx\right),çã
com x_1=\dfrac{C_2}{\lambda_1 T} e x_2=\dfrac{C_2}{\lambda_2 T}.

Passo 4

Agora vamos calcular os valores adimensionais x_1 e x_2 para os dados do problema. Use \lambda em metros e C_2 em \mathrm{m\cdot K}.\n
Dados: C_2=1{,}4387769\times10^{-2}\\ \mathrm{m\cdot K} e T=2000\\ \mathrm{K}.\n
Calcule:
x_1=\frac{C_2}{\lambda_1 T}=\frac{1{,}4387769\times10^{-2}}{(1{,}2\times10^{-6})(2000)}=\frac{1{,}4387769\times10^{-2}}{2{,}4\times10^{-3}}\approx 5{,}9949,
x_2=\frac{C_2}{\lambda_2 T}=\frac{1{,}4387769\times10^{-2}}{(1{,}5\times10^{-6})(2000)}=\frac{1{,}4387769\times10^{-2}}{3{,}0\times10^{-3}}\approx 4{,}7959.

Passo 5

Precisamos avaliar as integrais
I(x)=\int_{x}^{\infty}\frac{t^3}{e^t-1}\,dt
em x=x_1 e x=x_2. Uma forma prática e precisa de calcular I(x) numericamente é usar a expansão em série
\frac{1}{e^t-1}=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n t},
que permite escrever
I(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{x}^{\infty}t^3 e^{-n t}\,dt.
A integral exponencial tem expressão fechada (integração por partes repetida):
\int_{x}^{\infty}t^3 e^{-n t}\,dt = e^{-n x}\left(\frac{x^3}{n}+\frac{3x^2}{n^2}+\frac{6x}{n^3}+\frac{6}{n^4}\right).
Portanto
I(x)=\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n x}\left(\frac{x^3}{n}+\frac{3x^2}{n^2}+\frac{6x}{n^3}+\frac{6}{n^4}\right).
Para valores de x da ordem de 5 a 6 a série converge muito rápido: o termo n=1 domina, o n=2 já é pequeno e os demais são praticamente desprezáveis.

Passo 6

Vamos calcular numericamente I(x_2) com x_2\approx 4{,}795923.\n
Primeiro calculemos algumas quantidades:
x_2\approx 4{,}795923,\quad x_2^2\approx 23{,}0009,\quad x_2^3\approx 110{,}2904.
Agora os termos da soma:
Para n=1:
e^{-x_2}\approx e^{-4{,}795923}\approx 0{,}008255,
\frac{x_2^3}{1}+\frac{3x_2^2}{1^2}+\frac{6x_2}{1^3}+\frac{6}{1^4}\approx 110{,}2904+69{,}0026+28{,}7755+6\approx 214{,}0685.
Produto:
\text{termo}_{n=1}\approx 214{,}0685\times 0{,}008255\approx 1{,}76715.
Para n=2:
e^{-2x_2}\approx (0{,}008255)^2\approx 6{,}815\times10^{-5},
\frac{x_2^3}{2}+\frac{3x_2^2}{2^2}+\frac{6x_2}{2^3}+\frac{6}{2^4}\approx 55{,}1452+17{,}2507+3{,}5969+0{,}375\approx 76{,}3678,
\text{termo}_{n=2}\approx 76{,}3678\times 6{,}815\times10^{-5}\approx 0{,}00521.
Para n=3 e maiores os contribuições são \lesssim 10^{-5} e podem ser desprezadas ao nível de precisão pedido. Somando:
I(x_2)\approx 1{,}76715+0{,}00521\approx 1{,}77236.

Passo 7

Agora calcule I(x_1) com x_1\approx 5{,}994904.\n
Quantidades:
x_1\approx 5{,}994904,\quad x_1^2\approx 35{,}9389,\quad x_1^3\approx 215{,}450.
Termos:
Para n=1:
e^{-x_1}\approx e^{-5{,}994904}\approx 0{,}0024914,
\frac{x_1^3}{1}+\frac{3x_1^2}{1^2}+\frac{6x_1}{1^3}+\frac{6}{1^4}\approx 215{,}450+107{,}8166+35{,}9694+6\approx 365{,}236.
Produto:
\text{termo}_{n=1}\approx 365{,}236\times 0{,}0024914\approx 0{,}90995.
Para n=2:
e^{-2x_1}\approx (0{,}0024914)^2\approx 6{,}2069\times10^{-6},
\frac{x_1^3}{2}+\frac{3x_1^2}{2^2}+\frac{6x_1}{2^3}+\frac{6}{2^4}\approx 107{,}725+26{,}9541+4{,}4962+0{,}375\approx 139{,}5503,
\text{termo}_{n=2}\approx 139{,}5503\times 6{,}2069\times10^{-6}\approx 0{,}00087.
Os termos com n\ge 3 são \lesssim 10^{-6}. Assim
I(x_1)\approx 0{,}90995+0{,}00087\approx 0{,}91082.

Passo 8

Agora usamos a constante frontal \dfrac{15}{\pi^4} para obter as frações acumuladas. Primeiro calculamos o fator:
\frac{15}{\pi^4}\approx 0{,}154031.
Multiplicando:
Para \lambda_2=1{,}5\\ \mu\mathrm{m} (ou seja x_2):
F(\lambda_2 T)=\frac{15}{\pi^4}I(x_2)\approx 0{,}154031\times 1{,}77236\approx 0{,}27300\\ (\text{fração}).çã
Para \lambda_1=1{,}2\\ \mu\mathrm{m} (ou seja x_1):
F(\lambda_1 T)=\frac{15}{\pi^4}I(x_1)\approx 0{,}154031\times 0{,}91082\approx 0{,}14029\\ (\text{fração}).çã

Passo 9

A fração do poder emissivo total entre \lambda_1 e \lambda_2 é
\text{fração}=F(\lambda_2 T)-F(\lambda_1 T)\approx 0{,}27300-0{,}14029\approx 0{,}13271.çã
Convertendo para porcentagem:
\text{porcentagem}\approx 0{,}13271\times100\%\approx 13{,}27\%.

Resposta

13{,}27\%

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