Determine o comprimento de onda acima do qual estão concentrados 40 \% da emissão para um corpo negro que está a 2000 K

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o comprimento de onda acima do qual está concentrado 40\% da emissão total de um corpo negro a 2000\\ \mathrm{K}.
Informações relevantes dadas:
  • Temperatura T = 2000\\ \mathrm{K}.
  • Queremos a condição que a fração da energia emitida para comprimentos de onda maiores que um certo \lambda_0 seja 40\%, ou seja, a fração para comprimentos menores que \lambda_0 é 60\%.
  • Podemos usar a lei de Planck para radiação do corpo negro e o fato de que a fração da energia depende apenas do produto \lambda T quando escrevemos em forma adimensional.

Passo 2

Vamos traduzir a condição pedida em uma equação matemática usando a distribuição espectral por comprimento de onda. A densidade espectral (energia por unidade de comprimento de onda) para corpo negro é
B_\lambda(\lambda,T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}.
A fração da energia emitida para comprimentos menores que \lambda_0 é
F(<\lambda_0)=\frac{\displaystyle\int_{0}^{\lambda_0} B_\lambda(\lambda,T)\,d\lambda}{\displaystyle\int_{0}^{\infty} B_\lambda(\lambda,T)\,d\lambda}.
Essa razão elimina as constantes multiplicativas, e ao fazer a mudança de variável adimensional
x=\frac{hc}{\lambda kT}
obtém-se a forma padronizada (a qual vamos usar para calcular numericamente a fração):
F(<\lambda_0)=\frac{\displaystyle\int_{0}^{x_0}\frac{x^3}{e^{x}-1}\,dx}{\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^{x}-1}\,dx},
onde x_0=\dfrac{hc}{\lambda_0 k T}.

Passo 3

Explico a origem da forma adimensional e o que cada termo significa:
  • A mudança x=\dfrac{hc}{\lambda kT} torna a integral independente de T exceto através do produto \lambda T: isso é muito útil porque a distribuição do corpo negro só depende de \lambda T nessa forma.
  • O denominador é uma integral conhecida:
\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^{x}-1}\,dx=\frac{\pi^4}{15}.
Portanto podemos escrever
F(<\lambda_0)=\frac{15}{\pi^4}\int_{0}^{x_0}\frac{x^3}{e^{x}-1}\,dx.
Queremos que a fração para comprimentos maiores que \lambda_0 seja 0,40. Logo
F(>\lambda_0)=0,40 \quad\Longrightarrow\quad F(<\lambda_0)=0,60.
Então procuramos x_0 tal que
\frac{15}{\pi^4}\int_{0}^{x_0}\frac{x^3}{e^{x}-1}\,dx=0,60.

Passo 4

Vamos resolver numericamente para x_0. Reescrevendo, o valor da integral que buscamos é
I(x_0)=\int_{0}^{x_0}\frac{x^3}{e^{x}-1}\,dx = 0,60\cdot\frac{\pi^4}{15}.
Calculamos o lado direito:
\frac{\pi^4}{15}\approx 6,49394,
portanto
I(x_0)=0,60\cdot 6,49394 \approx 3,896364.

Passo 5

Agora avaliamos numericamente a integral I(x) e achamos x_0 tal que I(x_0)\approx 3,896364. Para isso fazemos uma integração numérica (por exemplo regra de Simpson) do integrando f(x)=\dfrac{x^3}{e^x-1}. Alguns pontos avaliados (apenas os valores usados para a integração e entendimento):
\begin{array}{c|c} x & f(x)=\dfrac{x^3}{e^{x}-1}\\hline 0 & 0\\\\ 0{,}5 & 0{,}1927\\\\ 1{,}0 & 0{,}5820\\\\ 1{,}5 & 0{,}9699\\\\ 2{,}0 & 1{,}2529\\\\ 2{,}5 & 1{,}3978\\\\ 3{,}0 & 1{,}4146\\\\ 3{,}5 & 1{,}3355\\\\ 4{,}0 & 1{,}1937 \end{array}
Integrando com passo h=0{,}5 de 0 até 4{,}0 pela regra de Simpson obtemos
I(4{,}0)\approx 3,87938.
Este valor é um pouco menor que 3,896364, então x_0>4{,}0. A diferença necessária é
\Delta I = 3,896364-3,87938 \approx 0,01698.
Como o integrando em x=4 vale f(4)\approx 1,1937, o incremento de x necessário é aproximadamente
\Delta x \approx \frac{\Delta I}{f(4)} \approx \frac{0,01698}{1,1937}\approx 0{,}0142.
Portanto estimamos
x_0 \approx 4{,}0 + 0{,}0142 \approx 4{,}0142.
(Para maior precisão poderia-se fazer iteração ou integrar diretamente até x_0; o resultado acima já tem precisão suficiente para calcular \lambda_0 com algumas casas decimais.)

Passo 6

Agora relacionamos x_0 com \lambda_0. Lembrando que
x_0=\frac{hc}{\lambda_0 k T} \quad\Longrightarrow\quad \lambda_0=\frac{hc}{kT x_0}.
A constante c_2=\dfrac{hc}{k} (segunda constante da radiação) tem valor
c_2=0,014387768\\ \mathrm{m\cdot K}.
Substituindo T=2000\\ \mathrm{K} e x_0\approx 4{,}0142 obtemos
\lambda_0=\frac{0,014387768}{2000\cdot 4{,}0142}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Cálculo numérico:
2000\cdot 4{,}0142 = 8028{,}4,
\lambda_0 \approx \frac{0,014387768}{8028{,}4}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}792\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para micrômetros:
\lambda_0 \approx 1{,}792\\ \mu\mathrm{m}.

Resposta

\lambda_0 \approx 1{,}792\\ \mu\mathrm{m}

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