Determine o comprimento de onda acima do qual estão concentrados
da emissão para um corpo negro que está a 2000 K
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o comprimento de onda acima do qual está concentrado
da emissão total de um corpo negro a
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Temperatura
. - Queremos a condição que a fração da energia emitida para comprimentos de onda maiores que um certo
seja , ou seja, a fração para comprimentos menores que é . - Podemos usar a lei de Planck para radiação do corpo negro e o fato de que a fração da energia depende apenas do produto
quando escrevemos em forma adimensional.
Passo 2
Vamos traduzir a condição pedida em uma equação matemática usando a distribuição espectral por comprimento de onda. A densidade espectral (energia por unidade de comprimento de onda) para corpo negro é
A fração da energia emitida para comprimentos menores que
é
Essa razão elimina as constantes multiplicativas, e ao fazer a mudança de variável adimensional
obtém-se a forma padronizada (a qual vamos usar para calcular numericamente a fração):
onde
.
Passo 3
Explico a origem da forma adimensional e o que cada termo significa:
- A mudança
torna a integral independente de exceto através do produto : isso é muito útil porque a distribuição do corpo negro só depende de nessa forma. - O denominador é uma integral conhecida:
Portanto podemos escrever
Queremos que a fração para comprimentos maiores que
seja
. Logo
Então procuramos
tal que
Passo 4
Vamos resolver numericamente para
. Reescrevendo, o valor da integral que buscamos é
Calculamos o lado direito:
portanto
Passo 5
Agora avaliamos numericamente a integral
e achamos
tal que
. Para isso fazemos uma integração numérica (por exemplo regra de Simpson) do integrando
. Alguns pontos avaliados (apenas os valores usados para a integração e entendimento):
Integrando com passo
de
até
pela regra de Simpson obtemos
Este valor é um pouco menor que
, então
. A diferença necessária é
Como o integrando em
vale
, o incremento de
necessário é aproximadamente
Portanto estimamos
(Para maior precisão poderia-se fazer iteração ou integrar diretamente até
; o resultado acima já tem precisão suficiente para calcular
com algumas casas decimais.)
Passo 6
Agora relacionamos
com
. Lembrando que
A constante
(segunda constante da radiação) tem valor
Substituindo
e
obtemos
Passo 7
Cálculo numérico:
Convertendo para micrômetros: