Um raio
pode produzir um par elétron-pósitron na vizinhança de um elétron ou de um núcleo em repouso. Encontre a energia mínima para a produção do par em ambos os casos.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a energia mínima de um fóton
para que ocorra produção de um par elétron-pósitron nas duas situações: - próximo a um elétron em repouso (processo
); - próximo a um núcleo em repouso (processo
).
- próximo a um elétron em repouso (processo
Informações dadas e hipóteses que usaremos:
- A massa do elétron é
. A massa do núcleo é (geralmente ). - Tanto o elétron alvo quanto o núcleo alvo estão inicialmente em repouso no referencial laboratorial.
- É necessário conservar energia e momento linear. Para achar o limiar (energia mínima), usaremos a quantidade invariante relativística
(onde é o quadrivetor do fóton), porque ela facilita a análise de condição de limiar sem ficar trocando de referenciais. - Não é pedido incluir efeitos radiativos ou detalhes de seção de choque; só determinar a energia mínima exigida pela conservação relativística.
Passo 2
Por que usar a invariante
e como calculá-la aqui (aula rápida).
- Definição prática: para dois quatro-momentos
(alvo) e (fóton) vale
- Para a partícula alvo em repouso (massa
) temos . Para o fóton . Assim
- Calcular
no referencial da experiência (alvo em repouso): o quatro-impulso do alvo é . O do fóton é . Então
- Logo, para um alvo de massa
em repouso,
Explicação física do limiar: no centro de massa (CM) do sistema inicial, no ponto de limiar todos os produtos finais podem estar “parados” (sem energia cinética relativa) — isso minimiza a energia total exigida. Portanto a energia total no CM no limiar é simplesmente a soma das energias de repouso dos produtos finais; daí obtemos uma condição para
.
Passo 3
Condição de limiar geral (aula rápida sobre limiar com invariantes).
- Se no limiar o sistema final contém partículas com massas
, a energia total no CM é e, portanto,
- Igualando isso à expressão de
calculada no referencial laboratório, obtemos uma equação que permite resolver mínimo.
Passo 4
Aplicação ao caso alvo = elétron em repouso (triplet production).
- Aqui
e os produtos finais são três leptons: dois elétrons e um pósitron, cada um com massa . Portanto a soma das massas finais é . - Pelo item anterior,
- A expressão de
inicial (alvo em repouso) é
- Igualando:
- Resolver para
:
- Interpretação intuitiva: o fóton precisa fornecer não só a energia de repouso dos dois novos leptons (
), mas também energia para permitir conservação de momento quando o alvo que absorve impulso é um elétron leve — isso duplica a exigência e leva ao fator .
Passo 5
Aplicação ao caso alvo = núcleo em repouso (produção na vizinhança de um núcleo).
- Agora
. Os produtos finais são o núcleo mais o par, cujas massas totais somam . - Pelo critério de limiar,
- A expressão de
inicial é
- Igualando:
- Cancelando
e resolvendo para :
- Escrever de forma conveniente:
- Limite de núcleo pesado: se
(núcleo muito mais pesado que o elétron), o termo é desprezível e
Isto é o resultado usual: na presença de um núcleo pesado que absorve momento praticamente sem ganhar energia de repouso significativa, o limite é simplesmente o dobro da energia de repouso do elétron.
Passo 6
Valores numéricos úteis (curtinho para fixar a intuição).
- A energia de repouso do elétron é
. - Caso alvo elétron:
- Caso alvo núcleo pesado:
- Esses números mostram que produzir o par na presença de um elétron exige o dobro da energia mínima que seria necessária na presença de um núcleo pesado.
Passo 7
Resumo físico final e dica para prova (motivação prática).
- Motivo da diferença: quando o alvo é pesado ele pode absorver momento sem gastar muita energia; quando o alvo é um elétron leve, parte significativa da energia do fóton deve ficar disponível para conservar momento e energia do sistema final, o que eleva o limiar.
- Dica de prova: usar a invariante
é o caminho mais curto e seguro para obter o limiar em problemas relativísticos que envolvem partículas em repouso no laboratório.