Um raio \gamma pode produzir um par elétron-pósitron na vizinhança de um elétron ou de um núcleo em repouso. Encontre a energia mínima para a produção do par em ambos os casos.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a energia mínima de um fóton \gamma para que ocorra produção de um par elétron-pósitron nas duas situações:
    1. próximo a um elétron em repouso (processo \gamma + e^-_{\text{rep}} \to e^- + e^- + e^+);
    2. próximo a um núcleo em repouso (processo \gamma + N_{\text{rep}} \to N + e^- + e^+).
Informações dadas e hipóteses que usaremos:
  • A massa do elétron é m. A massa do núcleo é M (geralmente M\gg m).
  • Tanto o elétron alvo quanto o núcleo alvo estão inicialmente em repouso no referencial laboratorial.
  • É necessário conservar energia e momento linear. Para achar o limiar (energia mínima), usaremos a quantidade invariante relativística s=(p_{\text{alvo}}+k)^2 (onde k é o quadrivetor do fóton), porque ela facilita a análise de condição de limiar sem ficar trocando de referenciais.
  • Não é pedido incluir efeitos radiativos ou detalhes de seção de choque; só determinar a energia mínima exigida pela conservação relativística.

Passo 2

Por que usar a invariante s e como calculá-la aqui (aula rápida).
  • Definição prática: para dois quatro-momentos p (alvo) e k (fóton) vale
s=(p+k)^2=p^2+2p\cdot k + k^2.
  • Para a partícula alvo em repouso (massa M_0) temos p^2=M_0^2 c^2. Para o fóton k^2=0. Assim
s = M_0^2 c^2 + 2 p\cdot k.
  • Calcular p\cdot k no referencial da experiência (alvo em repouso): o quatro-impulso do alvo é p=(E_{\text{alvo}}/c,\vec{0})=(M_0 c,\vec{0}). O do fóton é k=(E_\gamma/c,\vec{k}). Então
p\cdot k = (M_0 c)\cdot\frac{E_\gamma}{c}=M_0 E_\gamma.
  • Logo, para um alvo de massa M_0 em repouso,
s = M_0^2 c^2 + 2 M_0 E_\gamma.
Explicação física do limiar: no centro de massa (CM) do sistema inicial, no ponto de limiar todos os produtos finais podem estar “parados” (sem energia cinética relativa) — isso minimiza a energia total exigida. Portanto a energia total no CM no limiar é simplesmente a soma das energias de repouso dos produtos finais; daí obtemos uma condição para s.

Passo 3

Condição de limiar geral (aula rápida sobre limiar com invariantes).
  • Se no limiar o sistema final contém partículas com massas m_i, a energia total no CM é \sum_i m_i c^2 e, portanto,
s_{\text{limiar}} = \left(\sum_i m_i c^2\right)^2\!\! \Big/ c^2 = \left(\sum_i m_i\right)^2 c^2.
  • Igualando isso à expressão de s calculada no referencial laboratório, obtemos uma equação que permite resolver E_\gamma mínimo.

Passo 4

Aplicação ao caso alvo = elétron em repouso (triplet production).
  • Aqui M_0 = m e os produtos finais são três leptons: dois elétrons e um pósitron, cada um com massa m. Portanto a soma das massas finais é 3m.
  • Pelo item anterior,
s_{\text{limiar}} = (3m)^2 c^2 = 9 m^2 c^2.
  • A expressão de s inicial (alvo em repouso) é
s = m^2 c^2 + 2 m E_\gamma.
  • Igualando:
m^2 c^2 + 2 m E_\gamma = 9 m^2 c^2.
  • Resolver para E_\gamma:
2 m E_\gamma = 8 m^2 c^2 \quad\Rightarrow\quad E_\gamma = 4 m c^2.
  • Interpretação intuitiva: o fóton precisa fornecer não só a energia de repouso dos dois novos leptons ( 2m c^2), mas também energia para permitir conservação de momento quando o alvo que absorve impulso é um elétron leve — isso duplica a exigência e leva ao fator 4m c^2.

Passo 5

Aplicação ao caso alvo = núcleo em repouso (produção na vizinhança de um núcleo).
  • Agora M_0 = M. Os produtos finais são o núcleo mais o par, cujas massas totais somam M+2m.
  • Pelo critério de limiar,
s_{\text{limiar}} = (M+2m)^2 c^2.
  • A expressão de s inicial é
s = M^2 c^2 + 2 M E_\gamma.
  • Igualando:
M^2 c^2 + 2 M E_\gamma = (M+2m)^2 c^2 = M^2 c^2 + 4 M m c^2 + 4 m^2 c^2.
  • Cancelando M^2 c^2 e resolvendo para E_\gamma:
2 M E_\gamma = 4 M m c^2 + 4 m^2 c^2
E_\gamma = 2 m c^2 + \frac{2 m^2 c^2}{M}.
  • Escrever de forma conveniente:
E_{\min} = 2 m c^2\!\left(1+\frac{m}{M}\right).
  • Limite de núcleo pesado: se M\gg m (núcleo muito mais pesado que o elétron), o termo \dfrac{2m^2 c^2}{M} é desprezível e
E_{\min}\approx 2 m c^2.
Isto é o resultado usual: na presença de um núcleo pesado que absorve momento praticamente sem ganhar energia de repouso significativa, o limite é simplesmente o dobro da energia de repouso do elétron.

Passo 6

Valores numéricos úteis (curtinho para fixar a intuição).
  • A energia de repouso do elétron é m c^2 \simeq 511\\ \text{keV}.
  • Caso alvo elétron: E_{\min}=4 m c^2 \simeq 4\times 511\\ \text{keV}=2044\\ \text{keV}\approx 2{,}044\\ \text{MeV}.
  • Caso alvo núcleo pesado: E_{\min}\approx 2 m c^2 \simeq 1022\\ \text{keV}\approx 1{,}022\\ \text{MeV}.
  • Esses números mostram que produzir o par na presença de um elétron exige o dobro da energia mínima que seria necessária na presença de um núcleo pesado.

Passo 7

Resumo físico final e dica para prova (motivação prática).
  • Motivo da diferença: quando o alvo é pesado ele pode absorver momento sem gastar muita energia; quando o alvo é um elétron leve, parte significativa da energia do fóton deve ficar disponível para conservar momento e energia do sistema final, o que eleva o limiar.
  • Dica de prova: usar a invariante s é o caminho mais curto e seguro para obter o limiar em problemas relativísticos que envolvem partículas em repouso no laboratório.

Resposta

E_{\min}(\text{alvo } e^- \text{ em repouso}) = 4 m c^2.
E_{\min}(\text{alvo } N \text{ de massa } M \text{ em repouso}) = 2 m c^2\!\left(1+\dfrac{m}{M}\right)\approx 2 m c^2 \\ (\text{para } M\gg m).

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