2- Qual o comprimento de onda, em nanômetros, da luz verde que tem frequência igual a 6,67 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} ? Sabendo que 1 \mathrm{~nm}=10^{-9} \mathrm{~m} e a velocidade da luz no vácuo apresenta valor igual a 3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda da luz verde, em nanômetros, sabendo a frequência e a velocidade da luz no vácuo. Informações dadas: \;f = 6,67 \times 10^{14}\\ \mathrm{Hz}, \;c = 3 \times 10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} e \;1\\ \mathrm{nm} = 10^{-9}\\ \mathrm{m}. A pergunta é: qual é \lambda (em nm), onde \lambda é o comprimento de onda correspondente a essa frequência.

Passo 2

Conceito e fórmula que relaciona as grandezas: a velocidade de propagação de uma onda é o produto da sua frequência pelo seu comprimento de onda. Em símbolos:
c = \lambda \, f
onde \;c é a velocidade da onda (m/s), \;f é a frequência (Hz = s^{-1}) e \;\lambda é o comprimento de onda (m). Para encontrar \lambda isolamos:
\lambda = \frac{c}{f}.
Aqui é importante observar as unidades: se c está em metros por segundo e f em hertz (s^{-1}), então \lambda sai em metros. Depois converteremos para nanômetros.

Passo 3

Substituímos os valores numéricos na fórmula:
\lambda = \frac{3 \times 10^{8}}{6,67 \times 10^{14}}\\ \mathrm{m}.
Agora vamos simplificar as potências de dez e a razão numérica separadamente.

Passo 4

Trabalhando as potências de dez:
10^{8} / 10^{14} = 10^{8-14} = 10^{-6}.
Logo
\lambda = \frac{3}{6,67} \times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calculando a razão \frac{3}{6,67}. Uma aproximação prática: 6,67 \times 0,45 = 3,0015, então \frac{3}{6,67} \approx 0,449775. Assim
\lambda \approx 0,449775 \times 10^{-6}\\ \mathrm{m} = 4,49775 \times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Expliquei a aproximação mostrando que 0,45 já dá uma boa ideia; usei mais dígitos para precisão.

Passo 6

Converter metros para nanômetros. Sabendo que 1\\ \mathrm{m} = 10^{9}\\ \mathrm{nm}, multiplicamos por 10^{9}:
\lambda = 4,49775 \times 10^{-7}\\ \mathrm{m} \times 10^{9}\\ \frac{\mathrm{nm}}{\mathrm{m}} = 4,49775 \times 10^{2}\\ \mathrm{nm}.
Ou seja,
\lambda \approx 449,775\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação: com os dados dados ( f com três algarismos significativos, c dado como 3\times10^{8} que é usualmente aproximado), é coerente reportar o comprimento de onda com duas ou três algarismos significativos. Arredondando para dois algarismos significativos obtemos 4,5\times10^{2}\\ \mathrm{nm}, que é 450\\ \mathrm{nm}. Para ser mais preciso podemos manter 450\\ \mathrm{nm} como resposta apropriada para a prova.

Resposta

450\\ \mathrm{nm}

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