O comprimento de uma peça definido em projeto tem as seguintes especificações: 5,6 . As peças com medições fora deste intervalo são consideradas defeituosas. No sentido de investigar a capacidade do processo um inspetor da qualidade retira uma amostra de 36 peças da linha de produção. Os dados estão dispostos abaixo:
2,0 2,0 2,5 2,7 2,8 3,0
3,0 3,5 3,5 3,7 3,9 4,0
4,0 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5
4,5 4,5 4,5 4,5 5,0 5,0
5,5 6,0 6,0 6,3 6,5 7,0
7,0 7,5 7,6 8,0 9,0 9,2
a) Determinar as medidas estatísticas: média, moda, mediana, amplitude total, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
b) Elaborar uma distribuição de frequências, o histograma correspondente e comentar sobre a simetria da distribuição dos dados.
c) A partir da distribuição elaborada no item (b), determinar as medidas estatísticas: média, moda, mediana, amplitude total, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.

Passo 1

Temos uma amostra de n = 36 comprimentos de peças (em mm) e precisamos aplicar estatística descritiva: média, moda, mediana, amplitude total, variância, desvio padrão e coeficiente de variação; depois montar uma distribuição de frequências com histograma e comentar a simetria; por fim recalcular essas medidas a partir dos dados agrupados.

Passo 2

Para os dados brutos calculei primeiramente
\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0msum\u001b[0m: \u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0mΣ x_i = 172,2 e Σ x_i^2 = 990,87\u001b[0m\u001b[0m, de onde:
bar x = 136sumi=1^36xi = 172,236 approx 4,783,mm
A mediana é a média de x_(18) e x_(19), ambos iguais a 4,5 mm, logo mediana = 4,5 mm. A moda (valor mais frequente) é 4,5 mm. A amplitude total é
R = xmax - xmin = 9,2 - 2,0 = 7,2,mm
Para a variância populacional uso
sigma^2 = 136sum (xi - bar x)^2 = 990,8736 - (4,783)^2 approx 4,645,mm^2,
e o desvio padrão
sigma = raiz4,645 approx 2,155,mm
O coeficiente de variação é
CV = sigmabar xtimes100% approx 2,1554,783times100% approx 45,07%

Passo 3

Para montar a distribuição de frequências escolhi k≈√n≈6 classes e largura h=(9,2−2,0)/6≈1,2 mm. Defini as classes e contei as frequências absolutas f_i e relativas fr_i:
O histograma terá barras proporcionais a essas frequências. Observa-se cauda mais longa à direita, ou seja, distribuição assimetricamente positiva.

Passo 4

Para as medidas a partir dos dados agrupados usei o ponto médio m_i de cada classe e apliquei as fórmulas de estatística agrupada. Os m_i são:
2,6;,3,8;,5,0;,6,2;,7,4;,8,6
A média agrupada é
bar xg = 136sum fi mi = 181,236 approx 5,033,mm
A mediana usa interpolação na 3ª classe (4,4;5,6):
M = Lm + tfracn2-Fantfm,h = 4,4 + 18-1312cdot1,2 = 4,9,mm
A moda também na mesma classe pelo clássico:
Mo = Lmo + fmo-fant2fmo-fant-fpróx,h =4,4+12-62cdot12-6-4cdot1,2approx4,91,mm ó
A variância agrupada é
sigma^2g = 136sum fi(mi-bar xg)^2 approx 116,6236approx 3,239,mm^2,
e o desvio padrão agrupado
sigmag approx1,80,mm,
com
CVg = 1,805,033times100%approx35,8%

Resposta

a) Dados brutos:
– Média: bar xapprox4,783 mm
– Mediana: M=4,5 mm
– Moda: Mo=4,5 mm
– Amplitude: R=7,2 mm
– Variância populacional: sigma^2approx4,645 mm²
– Desvio padrão: sigmaapprox2,155 mm
– Coeficiente de variação: CVapprox45,07%
b) Distribuição de frequências (6 classes de largura 1,2 mm), histograma com cauda à direita (distribuição assimétrica positivamente).
c) Dados agrupados:
– Média agrupada: bar xgapprox5,033 mm
– Mediana agrupada: Mapprox4,9 mm
– Moda agrupada: Moapprox4,91 mm
– Amplitude: R=7,2 mm
– Variância agrupada: sigma^2gapprox3,239 mm²
– Desvio padrão agrupado: sigmagapprox1,80 mm
– Coeficiente de variação agrupado: CVgapprox35,8%

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