O comprimento de uma peça definido em projeto tem as seguintes especificações: 5,6
. As peças com medições fora deste intervalo são consideradas defeituosas. No sentido de investigar a capacidade do processo um inspetor da qualidade retira uma amostra de 36 peças da linha de produção. Os dados estão dispostos abaixo:
2,0
2,0
2,5
2,7
2,8
3,0
3,0
3,5
3,5
3,7
3,9
4,0
4,0
4,5
4,5
4,5
4,5
4,5
4,5
4,5
4,5
4,5
5,0
5,0
5,5
6,0
6,0
6,3
6,5
7,0
7,0
7,5
7,6
8,0
9,0
9,2
a) Determinar as medidas estatísticas: média, moda, mediana, amplitude total, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
b) Elaborar uma distribuição de frequências, o histograma correspondente e comentar sobre a simetria da distribuição dos dados.
c) A partir da distribuição elaborada no item (b), determinar as medidas estatísticas: média, moda, mediana, amplitude total, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
2,0 | 2,0 | 2,5 | 2,7 | 2,8 | 3,0 |
3,0 | 3,5 | 3,5 | 3,7 | 3,9 | 4,0 |
4,0 | 4,5 | 4,5 | 4,5 | 4,5 | 4,5 |
4,5 | 4,5 | 4,5 | 4,5 | 5,0 | 5,0 |
5,5 | 6,0 | 6,0 | 6,3 | 6,5 | 7,0 |
7,0 | 7,5 | 7,6 | 8,0 | 9,0 | 9,2 |
b) Elaborar uma distribuição de frequências, o histograma correspondente e comentar sobre a simetria da distribuição dos dados.
c) A partir da distribuição elaborada no item (b), determinar as medidas estatísticas: média, moda, mediana, amplitude total, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
Passo 1
Temos uma amostra de n = 36 comprimentos de peças (em mm) e precisamos aplicar estatística descritiva: média, moda, mediana, amplitude total, variância, desvio padrão e coeficiente de variação; depois montar uma distribuição de frequências com histograma e comentar a simetria; por fim recalcular essas medidas a partir dos dados agrupados.
Passo 2
Para os dados brutos calculei primeiramente
\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0msum\u001b[0m: \u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0mΣ x_i = 172,2 e Σ x_i^2 = 990,87\u001b[0m\u001b[0m, de onde:
\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0msum\u001b[0m: \u001b[0m\u001b[0m\u001b[0m\u001b[0mΣ x_i = 172,2 e Σ x_i^2 = 990,87\u001b[0m\u001b[0m, de onde:
A mediana é a média de x_(18) e x_(19), ambos iguais a 4,5 mm, logo mediana = 4,5 mm. A moda (valor mais frequente) é 4,5 mm. A amplitude total é
Para a variância populacional uso
e o desvio padrão
O coeficiente de variação é
Passo 3
Para montar a distribuição de frequências escolhi k≈√n≈6 classes e largura h=(9,2−2,0)/6≈1,2 mm. Defini as classes e contei as frequências absolutas f_i e relativas fr_i:
O histograma terá barras proporcionais a essas frequências. Observa-se cauda mais longa à direita, ou seja, distribuição assimetricamente positiva.
Passo 4
Para as medidas a partir dos dados agrupados usei o ponto médio m_i de cada classe e apliquei as fórmulas de estatística agrupada. Os m_i são:
A média agrupada é
A mediana usa interpolação na 3ª classe (4,4;5,6):
A moda também na mesma classe pelo clássico:
A variância agrupada é
e o desvio padrão agrupado
com
Resposta
a) Dados brutos:
– Média: mm
– Mediana: mm
– Moda: mm
– Amplitude: mm
– Variância populacional: mm²
– Desvio padrão: mm
– Coeficiente de variação: %
– Média:
– Mediana:
– Moda:
– Amplitude:
– Variância populacional:
– Desvio padrão:
– Coeficiente de variação:
b) Distribuição de frequências (6 classes de largura 1,2 mm), histograma com cauda à direita (distribuição assimétrica positivamente).
c) Dados agrupados:
– Média agrupada: mm
– Mediana agrupada: mm
– Moda agrupada: mm
– Amplitude: mm
– Variância agrupada: mm²
– Desvio padrão agrupado: mm
– Coeficiente de variação agrupado: %
– Média agrupada:
– Mediana agrupada:
– Moda agrupada:
– Amplitude:
– Variância agrupada:
– Desvio padrão agrupado:
– Coeficiente de variação agrupado: