Questão 37
Enunciado
Considere que há 8 pirulitos idênticos a serem distribuídos entre duas crianças: João e Maria. As distribuições devem obedecer à seguinte condição: cada um deve receber pelo menos 1 pirulito.
a) De quantas maneiras distintas os 8 pirulitos podem ser distribuídos entre João e Maria, garantindo que cada um receba pelo menos 1 pirulito?
b) Suponha agora que os 8 pirulitos sejam distribuídos aleatoriamente entre João e Maria, ainda com a condição de que cada um receba pelo menos 1 pirulito. Qual é a probabilidade de que João receba mais pirulitos do que Maria?
a) De quantas maneiras distintas os 8 pirulitos podem ser distribuídos entre João e Maria, garantindo que cada um receba pelo menos 1 pirulito?
b) Suponha agora que os 8 pirulitos sejam distribuídos aleatoriamente entre João e Maria, ainda com a condição de que cada um receba pelo menos 1 pirulito. Qual é a probabilidade de que João receba mais pirulitos do que Maria?
Passo 1
O enunciado pede para distribuir
pirulitos idênticos entre duas crianças (João e Maria), de modo que cada uma receba pelo menos
. Vamos usar aqui o princípio de “stars and bars” para contar distribuições de objetos idênticos em recipientes distintos, e depois aplicar probabilidade clássica, assumindo que cada distribuição válida é igualmente provável.
Passo 2
Para a parte (a), modelamos a quantidade que João recebe como
e a que Maria recebe como
. Temos\r
com
e
. Pelo teorema de “stars and bars”, o número de soluções em inteiros positivos de
é\r
Aqui
, logo\r
Logo, há
maneiras de distribuir os
pirulitos garantindo que cada um receba ao menos
.
Passo 3
Para a parte (b), como as
distribuições são igualmente prováveis, basta contar em quantas delas João recebe mais pirulitos que Maria. Da equação
, ter
implica\r
portanto
, correspondendo a
casos favoráveis. Assim, a probabilidade é\r
Resposta
a)
\r
b)
b)