Questão 37

Enunciado

Considere que há 8 pirulitos idênticos a serem distribuídos entre duas crianças: João e Maria. As distribuições devem obedecer à seguinte condição: cada um deve receber pelo menos 1 pirulito.
a) De quantas maneiras distintas os 8 pirulitos podem ser distribuídos entre João e Maria, garantindo que cada um receba pelo menos 1 pirulito?
b) Suponha agora que os 8 pirulitos sejam distribuídos aleatoriamente entre João e Maria, ainda com a condição de que cada um receba pelo menos 1 pirulito. Qual é a probabilidade de que João receba mais pirulitos do que Maria?

Passo 1

O enunciado pede para distribuir 8 pirulitos idênticos entre duas crianças (João e Maria), de modo que cada uma receba pelo menos 1. Vamos usar aqui o princípio de “stars and bars” para contar distribuições de objetos idênticos em recipientes distintos, e depois aplicar probabilidade clássica, assumindo que cada distribuição válida é igualmente provável.

Passo 2

Para a parte (a), modelamos a quantidade que João recebe como x e a que Maria recebe como y. Temos\r
x + y = 8, \r
com x>=1 e y>=1. Pelo teorema de “stars and bars”, o número de soluções em inteiros positivos de x+y=n é\r
binomn-12-1 \r
Aqui n=8, logo\r
binom8-11 ;=;binom71;=;7 \r
Logo, há 7 maneiras de distribuir os 8 pirulitos garantindo que cada um receba ao menos 1.

Passo 3

Para a parte (b), como as 7 distribuições são igualmente prováveis, basta contar em quantas delas João recebe mais pirulitos que Maria. Da equação x+y=8, ter x>y implica\r
x > 4, \r
portanto xin5,6,7, correspondendo a 3 casos favoráveis. Assim, a probabilidade é\r
37

Resposta

a) 7 \r
b) tfrac37

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