Questão 1: (8 ptos) Petrônio perdeu seu cachorro em uma das duas florestas:
(com probabilidade de 0.4 ) ou
(com probabilidade de 0.6). Em um dado dia, se o cachorro estiver em
e Petrônio passar o dia procurando por ele em
, a probabilidade condicional de encontrá-lo nesse dia é 0.25 . De forma similar, se o cachorro estiver em
e Petrônio procurar por ele lá, a probabilidade condicional de encontrá-lo é 0.15 . O cachorro não pode ir de uma floresta para a outra. Petrônio só pode procurar durante o dia e só pode se deslocar entre florestas durante a noite.
(a) Em qual floresta Petrônio deve procurar para maximizar a probabilidade de encontrar seu cachorro no primeiro dia de busca?
(b) Sabendo que Petrônio procurou em
no primeiro dia e não encontrou o cachorro, qual a probabilidade de que o cachorro esteja em
?
(c) Se Petrônio lança uma moeda honesta para decidir onde procurar no primeiro dia e encontra o cachorro nesse dia, qual a probabilidade de que ele tenha procurado em
?
(d) Se o cachorro estiver vivo e não for encontrado em um dado dia, ele morrerá naquela noite com probabilidade
. Petrônio decidiu procurar em
nos dois primeiros dias. Qual é a probabilidade de que ele encontre o cachorro vivo pela primeira vez no segundo dia?
(a) Em qual floresta Petrônio deve procurar para maximizar a probabilidade de encontrar seu cachorro no primeiro dia de busca?
(b) Sabendo que Petrônio procurou em
(c) Se Petrônio lança uma moeda honesta para decidir onde procurar no primeiro dia e encontra o cachorro nesse dia, qual a probabilidade de que ele tenha procurado em
(d) Se o cachorro estiver vivo e não for encontrado em um dado dia, ele morrerá naquela noite com probabilidade
Passo 1
O enunciado define duas florestas,
e
, com
e
. Se o cachorro estiver em
e procurarmos lá, a chance diária de encontrá-lo é
; se estiver em
e procurarmos lá, é
. O cachorro não se move entre as florestas. Vamos usar probabilidades condicionais e o teorema de Bayes para responder as quatro partes.
Passo 2
(a) Para decidir onde procurar no primeiro dia, calculamos
e
Como
, é melhor procurar em
.
Passo 3
(b) Dado que procurou em
e não encontrou, aplicamos Bayes:
Passo 4
(c) Com moeda honesta,
. Então
e
Passo 5
(d) Se buscar em
nos dois dias, para encontrar vivo no segundo dia o cachorro deve:
- Estar em
. - Não ser achado no dia 1:
. - Sobreviver à noite 1:
. - Ser achado no dia 2:
.
Logo
Resposta
(a) Procurar em
.\n(b)
.\n(c)
.\n(d)
.