Questão 1: (8 ptos) Petrônio perdeu seu cachorro em uma das duas florestas: A (com probabilidade de 0.4 ) ou B (com probabilidade de 0.6). Em um dado dia, se o cachorro estiver em A e Petrônio passar o dia procurando por ele em A, a probabilidade condicional de encontrá-lo nesse dia é 0.25 . De forma similar, se o cachorro estiver em B e Petrônio procurar por ele lá, a probabilidade condicional de encontrá-lo é 0.15 . O cachorro não pode ir de uma floresta para a outra. Petrônio só pode procurar durante o dia e só pode se deslocar entre florestas durante a noite.
(a) Em qual floresta Petrônio deve procurar para maximizar a probabilidade de encontrar seu cachorro no primeiro dia de busca?
(b) Sabendo que Petrônio procurou em A no primeiro dia e não encontrou o cachorro, qual a probabilidade de que o cachorro esteja em A ?
(c) Se Petrônio lança uma moeda honesta para decidir onde procurar no primeiro dia e encontra o cachorro nesse dia, qual a probabilidade de que ele tenha procurado em A ?
(d) Se o cachorro estiver vivo e não for encontrado em um dado dia, ele morrerá naquela noite com probabilidade 13. Petrônio decidiu procurar em A nos dois primeiros dias. Qual é a probabilidade de que ele encontre o cachorro vivo pela primeira vez no segundo dia?

Passo 1

O enunciado define duas florestas, A e B, com P(A)=0.4 e P(B)=0.6. Se o cachorro estiver em A e procurarmos lá, a chance diária de encontrá-lo é 0.25; se estiver em B e procurarmos lá, é 0.15. O cachorro não se move entre as florestas. Vamos usar probabilidades condicionais e o teorema de Bayes para responder as quatro partes.

Passo 2

(a) Para decidir onde procurar no primeiro dia, calculamos
P(encontrarmid procurar em A) = P(A)cdot0.25 = 0.4cdot0.25 = 0.10
e
P(encontrarmid procurar em B) = P(B)cdot0.15 = 0.6cdot0.15 = 0.09
Como 0.10>0.09, é melhor procurar em A.

Passo 3

(b) Dado que procurou em A e não encontrou, aplicamos Bayes:
Pl(A mid não encontrar,Ar) = P(não encontrarmid A)P(A) P(não encontrarmid A)P(A)+P(não encontrarmid B)P(B) = 0.75cdot0.40.75cdot0.4+1cdot0.6 = 0.300.90 = 13 ãããã

Passo 4

(c) Com moeda honesta, P(procurar em A)=P(procurar em B)=0.5. Então
P(encontrar) =0.5cdot(0.4cdot0.25)+0.5cdot(0.6cdot0.15) =0.05+0.045 =0.095
e
P(procurar Amid encontrar) =0.5cdot(0.4cdot0.25)0.095 =0.050.095 =1019

Passo 5

(d) Se buscar em A nos dois dias, para encontrar vivo no segundo dia o cachorro deve:
  1. Estar em A.
  2. Não ser achado no dia 1: (1-0.25).
  3. Sobreviver à noite 1: (1-tfrac13).
  4. Ser achado no dia 2: 0.25.
Logo
P =0.4cdot0.75cdottfrac23cdot0.25 =0.05

Resposta

(a) Procurar em A.\n(b) tfrac13.\n(c) tfrac1019.\n(d) 0.05.

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