O comprimento de um retângulo está aumentando a uma taxa de 7 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e sua largura está aumentando numa taxa de 4 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Quando o comprimento for 16 cm e a largura for 9 cm , a que taxa a área do retângulo está aumentando?

Passo 1

O enunciado descreve um retângulo de comprimento L e largura W cujas dimensões variam com o tempo. Sabemos que \tfrac{dL}{dt}=7\\ \text{cm/s} e \tfrac{dW}{dt}=4\\ \text{cm/s}. O conteúdo aqui é taxas relacionadas: a área A do retângulo depende de L e W via A=L\cdot W, e queremos \tfrac{dA}{dt} quando L=16\\ \text{cm} e W=9\\ \text{cm}.

Passo 2

Diferenciando A=L\cdot W em relação ao tempo t, usamos a regra do produto:
\frac{dA}{dt} = L\,\frac{dW}{dt} + W\,\frac{dL}{dt}.

Passo 3

Substituímos L=16, W=9, \tfrac{dL}{dt}=7 e \tfrac{dW}{dt}=4:
\frac{dA}{dt} = 16\cdot 4 + 9\cdot 7 = 64 + 63 = 127.

Resposta

\displaystyle \frac{dA}{dt}=127\\ \text{cm}^2/\text{s}.

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