A curva
y^{2}(1+x)=3 x^{2}-x^{3}
é conhecida como Trissectriz de Maclaurin. Esta curva começou a ser estudada por Colin Maclaurin em 1742. Tal como tantas outras, o seu estudo foi abordado no sentido de encontrar uma solução para um dos antigos problemas, neste caso o da trisseção de um ângulo. Com as informações acima, encontre a equação da reta tangente à Trissectriz de Maclaurin no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
y^{2}(1+x)=3x^{2}-x^{3}
e pede a reta tangente no ponto (1,1). Para isso vamos usar derivação implícita para obter y' e depois avaliar em (1,1).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl[y^{2}(1+x)\bigr] = \frac{d}{dx}\bigl[3x^{2}-x^{3}\bigr].
No lado esquerdo, usando a regra do produto e a cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[y^{2}(1+x)\bigr] =2y\,y'(1+x)+y^{2}.
No lado direito:
\frac{d}{dx}\bigl[3x^{2}-x^{3}\bigr] =6x-3x^{2}.
Portanto
2y\,y'(1+x)+y^{2}=6x-3x^{2}.

Passo 3

Isolando y':
2y\,y'(1+x)=6x-3x^{2}-y^{2},
y'=\frac{6x-3x^{2}-y^{2}}{2y(1+x)}.

Passo 4

Avaliaremos em (x,y)=(1,1):
y'(1,1) =\frac{6\cdot1-3\cdot1^{2}-1^{2}}{2\cdot1\cdot(1+1)} =\frac{6-3-1}{4} =\frac{2}{4} =\frac12.

Passo 5

A reta tangente tem coeficiente angular m=\tfrac12 e passa por (1,1). Sua equação em forma ponto-inclinação é
y-1=\frac12(x-1).

Resposta

y=\frac12x+\frac12.

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