O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 \mathrm{~mm} / \mathrm{s}. Quão rápido o volume está aumentando quando o diâmetro for 40 mm ?

Passo 1

O enunciado diz que o raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=4,mm/s e pede a rapidez com que o volume muda quando o diâmetro vale 40,mm (logo o raio é 20,mm). O conteúdo é “taxas relacionadas” usando derivadas, e precisaremos da fórmula do volume de uma esfera e da regra da cadeia.

Passo 2

A fórmula do volume de uma esfera em função do raio r é
V = \tfrac{4}{3}\,\pi\,r^{3}.

Passo 3

Para achar a taxa \tfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}, derivamos ambos os lados em relação a t. Usando a regra da cadeia, temos
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl(\tfrac{4}{3}\pi\,r^{3}\Bigr) = \tfrac{4}{3}\pi \cdot 3\,r^{2}\,\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = 4\,\pi\,r^{2}\,\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}.

Passo 4

Agora substituímos r=20,mm e \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=4,mm/s:
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = 4\pi \,(20)^{2} \cdot 4 = 4\pi \cdot 400 \cdot 4 = 6400\,\pi.

Resposta

A rapidez com que o volume está aumentando é
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=6400\pi\;\text{mm}^{3}/\text{s}.

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