Derive as funções abaixo e indique quais regras de derivação utilizou:
f(x)=\ln (\operatorname{arccos} (x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\ln\bigl(\operatorname{arccos}(x)\bigr). Vamos usar o conteúdo de derivadas de funções compostas (regra da cadeia), além das fórmulas básicas:
  1. Derivada de \ln(u) é u'/u.
  2. Derivada de \operatorname{arccos}(x) é -1/\sqrt{1-x^2}.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia à função externa g(u)=\ln(u) com u=\operatorname{arccos}(x). Pela derivada de logaritmo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln\bigl(\operatorname{arccos}(x)\bigr) =\frac{u'}{u} =\frac{\bigl(\operatorname{arccos}(x)\bigr)'}{\operatorname{arccos}(x)}.

Passo 3

Agora precisamos de \bigl(\operatorname{arccos}(x)\bigr)'. Pela fórmula conhecida,
\frac{d}{dx}\operatorname{arccos}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =\frac{-\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\operatorname{arccos}(x)} =-\frac{1}{\operatorname{arccos}(x)\,\sqrt{1-x^2}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{\operatorname{arccos}(x)\,\sqrt{1-x^2}}.
Regras usadas: regra da cadeia, derivada de \ln(u) e derivada de \operatorname{arccos}(x).

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