O comprimento c de um retângulo diminui a uma taxa de 2 cm / s, enquanto a largura ell aumenta a uma taxa de 2 cm / s. Encontre as taxas de variação para (i) a área e (ii) o perimetro do retângulo quando ell=12 cm e c=16 cm.

Passo 1

O enunciado pede para achar as taxas de variação da área e do perímetro de um retângulo cujos lados c (comprimento) e ℓ (largura) variam no tempo. O conteúdo é de taxas relacionadas, e vamos precisar usar derivação implícita em funções de várias variáveis, além da regra do produto e da soma.

Passo 2

Para a área definimos
A = cell
Aplicando a derivada em relação ao tempo (regra do produto), temos
dAdt = cdelldt + elldcdt
Essa fórmula vem de lembrar que a derivada de u·v é u’·v + u·v’.

Passo 3

Agora substituímos os valores dados: c=16,cm, ell=12,cm, dc/dt=-2,cm/s e dell/dt=2,cm/s. Então
dAdt = 16cdot 2 + 12cdot(-2) = 32 - 24 = 8,cm^2/s

Passo 4

Para o perímetro definimos
P = 2(c + ell)
Derivando em relação ao tempo (regra da soma e fator constante), obtemos
dPdt = 2l(dcdt + delldtr)

Passo 5

Substituindo dc/dt=-2,cm/s e dell/dt=2,cm/s na expressão do perímetro, vem
dPdt = 2(-2 + 2) = 2cdot 0 = 0,cm/s

Resposta

dA/dt = 8,cm^2/s e dP/dt = 0,cm/s.

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