O comprimento
de um retângulo diminui a uma taxa de
, enquanto a largura
aumenta a uma taxa de
. Encontre as taxas de variação para (i) a área e (ii) o perimetro do retângulo quando
e
.
Passo 1
O enunciado pede para achar as taxas de variação da área e do perímetro de um retângulo cujos lados c (comprimento) e ℓ (largura) variam no tempo. O conteúdo é de taxas relacionadas, e vamos precisar usar derivação implícita em funções de várias variáveis, além da regra do produto e da soma.
Passo 2
Para a área definimos
Aplicando a derivada em relação ao tempo (regra do produto), temos
Essa fórmula vem de lembrar que a derivada de u·v é u’·v + u·v’.
Passo 3
Agora substituímos os valores dados:
,
,
e
. Então
Passo 4
Para o perímetro definimos
Derivando em relação ao tempo (regra da soma e fator constante), obtemos
Passo 5
Substituindo
e
na expressão do perímetro, vem