Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente:
7) sumk=0^infty(-1)^k x^2 k+1(2 k+1)!=x-x^33!+x^55!-x^77!+ldots

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de x para os quais a série sumk=0^infty(-1)^k x^2 k+1(2 k+1)! converge absolutamente. Vamos usar séries de potências e o teste da razão para estudar convergência absoluta.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, definimos o termo geral positivo
ak=|x|^2k+1(2k+1)!
Então calculamos
L=limktoinftyak+1ak =limktoinfty|x|^2(k+1)+1/(2(k+1)+1)!|x|^2k+1/(2k+1)! =limktoinfty|x|^22k+3 =0
Como L=0<1 para todo x, a série de módulos converge para qualquer valor de x.

Resposta

A série converge absolutamente para todo xinR.

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