Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
(3) sumk=0^infty (-1)^k+1k! x^k

Passo 1

Temos a série de potência sumk=0^infty (-1)^k+1k! x^k. O conteúdo é séries de potência e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

No teste da razão calculamos a razão entre termos consecutivos. Chamando ak = (-1)^k+1k!, temos
|ak+1x^k+1akx^k| = |(-1)^k+2/(k+1)!,x^k+1(-1)^k+1/k!,x^k| = |xk+1|

Passo 3

Ao tomar o limite quando k to infty surge
limktoinfty |xk+1| = 0 < 1

Passo 4

Isso vale para qualquer x, logo a série converge absolutamente para todo número real, ou seja, o raio de convergência é infinito.

Resposta

(-∞, ∞)

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