Exercício 5
Verifique se as sequências são convergentes ou divergentes:
(-1)^n^2

Passo 1

O exercício pede para analisar a sequência (-1)^n^2 e verificar se ela converge ou diverge; o conteúdo é de limites de sequências, e precisaremos usar a paridade de n e o conceito de subsequências.

Passo 2

Observando a paridade de n: quando n é par, n^2 também é par, logo
(-1)^n^2=(-1)^par=1;
quando n é ímpar, n^2 é ímpar, então
(-1)^n^2=(-1)^ímpar=-1í

Passo 3

Definimos duas subsequências: para n=2k, temos a2k=1 que converge para 1; para n=2k+1, temos a2k+1=-1 que converge para -1.

Passo 4

Pela definição de convergência, se a sequência an tivesse limite L, todas as subsequências deveriam tender a L. Aqui temos duas subsequências com limites distintos (1 e -1), então não há limite único.

Resposta

A sequência é divergente.

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