O comprimento
de um retângulo diminui a uma taxa de
, enquanto a largura
aumenta a uma taxa de
. Encontre as taxas de variação para (i) a área e (ii) o perimetro do retângulo quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre as taxas de variação do comprimento (
) e da largura (
) de um retângulo. A gente precisa descobrir como a área e o perímetro desse retângulo estão mudando quando a largura é 7 cm e o comprimento é 24 cm. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de derivadas para entender como pequenas mudanças em
e
afetam a área e o perímetro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um retângulo. A fórmula é bem simples:
Aqui,
é a área,
é o comprimento e
é a largura. Agora, para entender como a área está mudando com o tempo, vamos derivar essa fórmula em relação ao tempo (
). Usamos a regra do produto para derivadas:
Passo 3
Vamos substituir os valores que temos na equação. Sabemos que:
Substituindo na fórmula da derivada da área:
Passo 4
Vamos fazer as contas:
Isso significa que a área está aumentando a uma taxa de 34 cm² por segundo quando
cm e
cm.
Passo 5
Agora, vamos calcular o perímetro do retângulo. A fórmula do perímetro é:
Para entender como o perímetro está mudando com o tempo, vamos derivar essa fórmula:
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos na equação da derivada do perímetro:
Isso quer dizer que o perímetro não está mudando; está constante quando
cm e
cm.
Resposta
(i) A área está aumentando a uma taxa de
.
(ii) O perímetro está constante, com taxa de variação igual a
.