O comprimento c de um retângulo diminui a uma taxa de 2 cm / s, enquanto a largura ell aumenta a uma taxa de 2 cm / s. Encontre as taxas de variação para (i) a área e (ii) o perimetro do retângulo quando ell=7 cm e c=24 cm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre as taxas de variação do comprimento ( c) e da largura ( ell) de um retângulo. A gente precisa descobrir como a área e o perímetro desse retângulo estão mudando quando a largura é 7 cm e o comprimento é 24 cm. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de derivadas para entender como pequenas mudanças em c e ell afetam a área e o perímetro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um retângulo. A fórmula é bem simples:
A = c times ell
Aqui, A é a área, c é o comprimento e ell é a largura. Agora, para entender como a área está mudando com o tempo, vamos derivar essa fórmula em relação ao tempo ( t). Usamos a regra do produto para derivadas:
dAdt = dcdt times ell + c times delldt

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na equação. Sabemos que:
dcdt = -2 , cm/s (o comprimento está diminuindo) á
delldt = 2 , cm/s (a largura está aumentando) á
c = 24 , cm
ell = 7 , cm
Substituindo na fórmula da derivada da área:
dAdt = (-2) times 7 + 24 times 2

Passo 4

Vamos fazer as contas:
dAdt = (-14) + 48 = 34 , cm^2/s
Isso significa que a área está aumentando a uma taxa de 34 cm² por segundo quando ell = 7 cm e c = 24 cm.

Passo 5

Agora, vamos calcular o perímetro do retângulo. A fórmula do perímetro é:
P = 2(c + ell)
Para entender como o perímetro está mudando com o tempo, vamos derivar essa fórmula:
dPdt = 2(dcdt + delldt)

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos na equação da derivada do perímetro:
dPdt = 2((-2) + 2) = 2 times 0 = 0 , cm/s
Isso quer dizer que o perímetro não está mudando; está constante quando ell = 7 cm e c = 24 cm.

Resposta

(i) A área está aumentando a uma taxa de 34 , cm²/s².
(ii) O perímetro está constante, com taxa de variação igual a 0 , cm/s.

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