Encontre a solução do problema de valor inicial, usando transformada de Laplace.
- y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=e^{-t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais e pede a solução usando transformada de Laplace. Escrevo claramente o que foi dado e o que se pede:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e . - Pedido: encontrar
para usando a transformada de Laplace.
Todas as constantes e funções acima são as informações que iremos usar.
Passo 2
Vou lembrar as definições e propriedades da transformada de Laplace que vou usar (explicando de forma didática):
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é
e denotarei
.
-
Linearidade:
. -
Transformadas de derivadas (fórmulas fundamentais que nos transformam derivadas em polinômios em
):
Essas fórmulas vêm de integrar por partes a definição; o importante é que derivadas no tempo viram fatores de
multiplicando
, e aparecem termos com as condições iniciais.
-
Transformada do termo da forçante:
. -
Algumas transformadas inversas úteis (vão aparecer depois):
Aqui
e
são constantes; essas fórmulas nos dizem como inverter termos com denominador do tipo
.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial inteira, transformando-a em uma equação algébrica em
.
- Transformo cada termo usando as fórmulas de derivadas e a linearidade:
- Substituo as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
, :
Como
e
, isto fica
- Agrupo os termos em
:
- Isolo
:
Portanto
Passo 4
Preparar
para inverter a transformada: fatoro e faço decomposição em frações parciais.
- Primeiro escrevo o quadrático de maneira conveniente completando o quadrado:
Isso indica que, ao inverter, vão aparecer termos do tipo
e
.
- Faço a decomposição em frações parciais do tipo
onde
são constantes reais a determinar.
Passo 5
Determinar [A,B,C) resolvendo a identidade algébrica.
- Multiplico ambos os lados por
para obter:
- Expando o lado direito:
Agrupando potências de
:
- Igualo coeficientes em ambos os lados (o lado esquerdo é
):
- Resolvo o sistema passo a passo. Da primeira equação (B = -A]. Substituo nas outras:
Subtraindo a primeira dessas da segunda:
Logo
. Então
. E usando
:
- Portanto os coeficientes são
Passo 6
Reescrever
em termos que tenham transformadas inversas conhecidas, usando a forma
.
- Substituo os coeficientes:
- Escrevo o numerador do segundo termo em função de
. Como ,
Logo
- Reunindo tudo:
Cada parcela agora tem inversa direta pelos pares transformada/inversa citados no Passo 2.
Passo 7
Aplicar a transformada inversa a cada termo e montar
. Lembro as inversas usadas:
Logo aplicando termo a termo:
(Se quiser, pode fatorar
ou escrever como
.)