Encontre a solução do problema de valor inicial, usando transformada de Laplace.
  • y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=e^{-t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais e pede a solução usando transformada de Laplace. Escrevo claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Equação diferencial: y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y = e^{-t}.
  • Condições iniciais: y(0)=0 e y^{\prime}(0)=1.
  • Pedido: encontrar y(t) para t\ge 0 usando a transformada de Laplace.
Todas as constantes e funções acima são as informações que iremos usar.

Passo 2

Vou lembrar as definições e propriedades da transformada de Laplace que vou usar (explicando de forma didática):
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
e denotarei \mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s).
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a \mathcal{L}\{f\} + b \mathcal{L}\{g\}.
  • Transformadas de derivadas (fórmulas fundamentais que nos transformam derivadas em polinômios em s):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s) = sY(s) - y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s) = s^{2}Y(s) - s\,y(0) - y'(0).
Essas fórmulas vêm de integrar por partes a definição; o importante é que derivadas no tempo viram fatores de s multiplicando Y(s), e aparecem termos com as condições iniciais.
  • Transformada do termo da forçante: \mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\dfrac{1}{s+1}.
  • Algumas transformadas inversas úteis (vão aparecer depois):
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Aqui a e b são constantes; essas fórmulas nos dizem como inverter termos com denominador do tipo (s-a)^{2}+b^{2}.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial inteira, transformando-a em uma equação algébrica em Y(s).
  • Transformo cada termo usando as fórmulas de derivadas e a linearidade:
\mathcal{L}\{y''\} - 2\mathcal{L}\{y'\} + 2\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{e^{-t}\}.
  • Substituo as fórmulas das derivadas e as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1:
\bigl(s^{2}Y(s) - s\,y(0) - y'(0)\bigr) - 2\bigl(sY(s)-y(0)\bigr) + 2Y(s) = \frac{1}{s+1}.
Como y(0)=0 e y'(0)=1, isto fica
s^{2}Y(s) - 1 - 2sY(s) + 2Y(s) = \frac{1}{s+1}.
  • Agrupo os termos em Y(s):
\bigl(s^{2}-2s+2\bigr)Y(s) - 1 = \frac{1}{s+1}.
  • Isolo Y(s):
\bigl(s^{2}-2s+2\bigr)Y(s) = 1 + \frac{1}{s+1} = \frac{s+2}{s+1}.
Portanto
Y(s) = \frac{s+2}{(s+1)\bigl(s^{2}-2s+2\bigr)}.

Passo 4

Preparar Y(s) para inverter a transformada: fatoro e faço decomposição em frações parciais.
  • Primeiro escrevo o quadrático de maneira conveniente completando o quadrado:
s^{2}-2s+2 = (s-1)^{2}+1.
Isso indica que, ao inverter, vão aparecer termos do tipo e^{t}\cos t e e^{t}\sin t.
  • Faço a decomposição em frações parciais do tipo
\frac{s+2}{(s+1)\bigl(s^{2}-2s+2\bigr)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B s + C}{s^{2}-2s+2},
onde A,B,C são constantes reais a determinar.

Passo 5

Determinar [A,B,C) resolvendo a identidade algébrica.
  • Multiplico ambos os lados por (s+1)(s^{2}-2s+2) para obter:
s+2 = A\bigl(s^{2}-2s+2\bigr) + (B s + C)(s+1).
  • Expando o lado direito:
s+2 = A s^{2} - 2A s + 2A + B s^{2} + B s + C s + C.
Agrupando potências de s:
s+2 = (A+B)s^{2} + (-2A + B + C)s + (2A + C).
  • Igualo coeficientes em ambos os lados (o lado esquerdo é 0\cdot s^{2} + 1\cdot s + 2):
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] -2A + B + C = 1,\\[4pt] 2A + C = 2. \end{cases}
  • Resolvo o sistema passo a passo. Da primeira equação (B = -A]. Substituo nas outras:
    -2A + (-A) + C = 1 \quad\Rightarrow\quad -3A + C = 1,
2A + C = 2.
Subtraindo a primeira dessas da segunda:
(2A + C) - (-3A + C) = 2 - 1 \quad\Rightarrow\quad 5A = 1.
Logo A = \dfrac{1}{5}. Então B = -\dfrac{1}{5}. E usando 2A + C = 2:
2\cdot\frac{1}{5} + C = 2 \quad\Rightarrow\quad C = 2 - \frac{2}{5} = \frac{8}{5}.
  • Portanto os coeficientes são
A=\frac{1}{5},\qquad B=-\frac{1}{5},\qquad C=\frac{8}{5}.]

Passo 6

Reescrever Y(s) em termos que tenham transformadas inversas conhecidas, usando a forma (s-1)^{2}+1.
  • Substituo os coeficientes:
Y(s) = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s+1} + \frac{-\tfrac{1}{5}s + \tfrac{8}{5}}{s^{2}-2s+2}.
  • Escrevo o numerador do segundo termo em função de s-1. Como s = (s-1)+1,
-\frac{1}{5}s + \frac{8}{5} = -\frac{1}{5}\bigl(s-1\bigr) + \frac{7}{5}.
Logo
\frac{-\tfrac{1}{5}s + \tfrac{8}{5}}{(s-1)^{2}+1} = -\frac{1}{5}\cdot\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1} + \frac{7}{5}\cdot\frac{1}{(s-1)^{2}+1}.
  • Reunindo tudo:
Y(s) = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s+1} \;-\; \frac{1}{5}\cdot\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1} \;+\; \frac{7}{5}\cdot\frac{1}{(s-1)^{2}+1}.
Cada parcela agora tem inversa direta pelos pares transformada/inversa citados no Passo 2.

Passo 7

Aplicar a transformada inversa a cada termo e montar y(t). Lembro as inversas usadas:
  • \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\dfrac{1}{s+1}\bigr\} = e^{-t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\dfrac{s-1}{(s-1)^{2}+1}\bigr\} = e^{t}\cos t.
  • \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\dfrac{1}{(s-1)^{2}+1}\bigr\} = e^{t}\sin t.
Logo aplicando termo a termo:
y(t) = \frac{1}{5}e^{-t} \;-\; \frac{1}{5}\,e^{t}\cos t \;+\; \frac{7}{5}\,e^{t}\sin t,\qquad t\ge 0.
(Se quiser, pode fatorar \dfrac{1}{5} ou escrever como y(t)=\dfrac{1}{5}e^{-t}+e^{t}\bigl(-\dfrac{1}{5}\cos t+\dfrac{7}{5}\sin t\bigr).)

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{1}{5}e^{-t}-\frac{1}{5}e^{t}\cos t+\frac{7}{5}e^{t}\sin t

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