O comprimento total (CT) de um barco é a distancia ao longo da linha central, a partir do exterior da frente do casco até a traseira. Membros da Associação Comunitária de uma cidade à beira de um lago estão preocupados com o fato de os residentes estarem usando barcos maiores, contribuindo para mais poluição sonora e da água. Registros passados indicam que o CT médio para barcos permitidos no lago era de 35 pés. Obteve-se uma amostra aleatória de 16 barcos e cada CT foi medido cuidadosamente. O CT médio amostral foi de 38,25 pés com desvio padrão amostral s=5,08 pés. Suponha que o comprimento possa ser aproximado por uma distribuição normal. Você vai ajudar a Associação a analisar esses dados.
a) Formule este problema em termos de um teste de hipóteses, especificando as hipóteses nula e alternativa.
b) Identifique o estimador de teste e sua distribuição probabilística.
c) Especifique a região de rejeição (região crítica) para um nível de significância de 5 \%.
d) Com base na amostra colhida, estabeleça a conclusão da Associação, em termos não técnicos, no contexto do problema.
e) Construa um intervalo de confiança para o novo comprimento médio dos barcos usando o nível de confiança de 90 \%.

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (tirei todos estes números do problema):
  • Registro histórico: o comprimento total médio era 35 pés (valor de referência).
  • Amostra aleatória de n=16 barcos.
  • Média amostral: \bar{x}=38,25 pés.
  • Desvio padrão amostral: s=5,08 pés.
  • Suposição: o comprimento segue aproximadamente uma distribuição normal.
    O enunciado pede:
    (a) formular as hipóteses nula e alternativa;
    (b) identificar o estimador de teste e sua distribuição probabilística;
    (c) especificar a região de rejeição para nível de significância 5\%;
    (d) dar conclusão prática, em linguagem não técnica, com base na amostra;
    (e) construir um intervalo de confiança de 90\% para o novo comprimento médio.

Passo 2

(a) Formular as hipóteses.
  • Explicação didática rápida: a hipótese nula ( H_0) é a afirmação que queremos testar (geralmente “sem mudança”) e a hipótese alternativa ( H_1) é o que a Associação suspeita. Aqui a Associação teme que os barcos estejam maiores — isto é, o comprimento médio tenha aumentado.
  • Portanto escrevemos as hipóteses em termos da média populacional \mu:
H_0: \mu = 35
H_1: \mu > 35
Isto é um teste unilateral à direita (buscamos evidência de aumento).

Passo 3

(b) Identificar o estimador de teste e sua distribuição.
  • Como a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena ( n=16), usamos o teste t de Student de amostra única.
  • O estimador de teste (estatística) é a estatística t:
T \;=\; \frac{\bar{x}-\mu_0}{\,s/\sqrt{n}\,},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral ( 38,25 pés),
  • \mu_0 é o valor sob H_0 (aqui 35 pés),
  • s é o desvio padrão amostral ( 5,08 pés),
  • n é o tamanho da amostra ( 16).
  • Sob H_0 e assumindo normalidade, a distribuição de T é a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade, ou seja:
T \sim t_{15}.

Passo 4

Calcular a estatística de teste numericamente (passo a passo).
  • Primeiro calcular o erro padrão da média:
\text{erro padrão} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{5,08}{\sqrt{16}} = \frac{5,08}{4} = 1,27.ã
  • Agora calcular T:
T = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\,s/\sqrt{n}\,} = \frac{38{,}25 - 35}{1{,}27} = \frac{3{,}25}{1{,}27} \approx 2{,}559.
  • Interpretação intuitiva: a média amostral está aproximadamente 2{,}559 erros padrão acima do valor hipotetizado 35.

Passo 5

(c) Região de rejeição para \alpha=5\%.
  • Explicação didática: em um teste unilateral à direita com nível \alpha, rejeitamos H_0 se T for maior que o quantil superior de t com n-1 graus de liberdade, isto é t_{1-\alpha,\,n-1}.
  • Aqui n-1=15 e \alpha=0{,}05. O quantil relevante é t_{0{,}95,\,15}.
  • Valor tabelado (ou calculado) é aproximadamente
t_{0{,}95,\,15} \approx 1{,}753.
  • Região crítica (região de rejeição):
\text{Rejeitar }H_0 \quad\text{se}\quad T > 1{,}753.

Passo 6

Aplicar a decisão do teste e obter o p-valor aproximado.
  • Comparação numérica: T \approx 2{,}559 e o limite crítico é 1{,}753. Como 2{,}559 > 1{,}753, rejeitamos H_0 ao nível de significância de 5\%.
  • Cálculo do p-valor (explicando o que é): o p-valor é a probabilidade, sob H_0, de observar um T tão extremo ou mais extremo que o observado. Para um teste unilateral à direita,
\text{p-valor} = P(T_{15} \ge 2{,}559).
  • Aproximação usando quantis conhecidos: para t_{15}, t=2{,}602 corresponde a p-valor unilateral 0{,}01. Nosso t=2{,}559 é um pouco menor, então o p-valor unilateral é um pouco maior que 0{,}01. Uma boa aproximação é
\text{p-valor} \approx 0{,}011\\ (\text{aprox.}).
  • Como \text{p-valor} \approx 0{,}011 < 0{,}05, isso confirma a decisão de rejeitar H_0.

Passo 7

(d) Conclusão em termos não técnicos (linguagem amigável).
  • Tradução direta do resultado: “Com base na amostra de 16 barcos, há evidências estatísticas suficientes, ao nível de confiança correspondente a \alpha=5\%, de que o comprimento médio dos barcos no lago é maior do que 35 pés.”
  • Em linguagem prática e leve: “Os dados sugerem que, em média, os barcos estão maiores do que antes — a preocupação da Associação sobre aumento do tamanho parece estar justificada, pelo menos segundo esta amostra. Seria bom ampliar a amostra no futuro para confirmar, mas os resultados atuais indicam um aumento médio real.”

Passo 8

(e) Construir o intervalo de confiança de 90\% para a média.
  • Explicação: com variância desconhecida e amostra pequena, o intervalo de confiança para \mu usa a distribuição t. Para nível de confiança 90\% (ou seja, \alpha=0{,}10), o quantil crítico bilateral é t_{1-\alpha/2,\,n-1}=t_{0{,}95,\,15}.
  • Valor já usado:
t_{0{,}95,\,15}\approx 1{,}753.
  • Margem de erro:
\text{ME} = t_{0{,}95,\,15}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}} = 1{,}753 \times 1{,}27 \approx 2{,}226.
  • Intervalo de confiança:
\bar{x} \pm \text{ME} = 38{,}25 \pm 2{,}226.
  • Calculando os limites:
\text{limite inferior} = 38{,}25 - 2{,}226 \approx 36{,}02,
\text{limite superior} = 38{,}25 + 2{,}226 \approx 40{,}48.
  • Interpretação simples: com 90\% de confiança, o comprimento médio real dos barcos está entre aproximadamente 36{,}02 e 40{,}48 pés. Observe que 35 pés fica fora deste intervalo, o que está de acordo com o teste que rejeitou H_0.

Resposta

(a) H_0:\mu=35 \quad e \quad H_1:\mu>35
(b) Estatística de teste \displaystyle T=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{38{,}25-35}{5{,}08/\sqrt{16}}\approx 2{,}559, com T\sim t_{15} sob H_0.
(c) Região de rejeição para \alpha=0{,}05 (unilateral direita): rejeitar H_0 se T>t_{0{,}95,15}\approx1{,}753. (Aqui T\approx2{,}559>1{,}753, logo rejeita-se H_0.)
(d) Conclusão prática: Há evidência estatística, com nível de significância 5\%, de que o comprimento médio dos barcos no lago aumentou — os barcos parecem ser, em média, maiores que 35 pés.
(e) Intervalo de confiança de 90\% para \mu: aproximadamente [36{,}02,\;40{,}48] pés.

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