O comprimento total (CT) de um barco é a distancia ao longo da linha central, a partir do exterior da frente do casco até a traseira. Membros da Associação Comunitária de uma cidade à beira de um lago estão preocupados com o fato de os residentes estarem usando barcos maiores, contribuindo para mais poluição sonora e da água. Registros passados indicam que o CT médio para barcos permitidos no lago era de 35 pés. Obteve-se uma amostra aleatória de 16 barcos e cada CT foi medido cuidadosamente. O CT médio amostral foi de 38,25 pés com desvio padrão amostral
pés. Suponha que o comprimento possa ser aproximado por uma distribuição normal. Você vai ajudar a Associação a analisar esses dados.
a) Formule este problema em termos de um teste de hipóteses, especificando as hipóteses nula e alternativa.
b) Identifique o estimador de teste e sua distribuição probabilística.
c) Especifique a região de rejeição (região crítica) para um nível de significância de
.
d) Com base na amostra colhida, estabeleça a conclusão da Associação, em termos não técnicos, no contexto do problema.
e) Construa um intervalo de confiança para o novo comprimento médio dos barcos usando o nível de confiança de
.
a) Formule este problema em termos de um teste de hipóteses, especificando as hipóteses nula e alternativa.
b) Identifique o estimador de teste e sua distribuição probabilística.
c) Especifique a região de rejeição (região crítica) para um nível de significância de
d) Com base na amostra colhida, estabeleça a conclusão da Associação, em termos não técnicos, no contexto do problema.
e) Construa um intervalo de confiança para o novo comprimento médio dos barcos usando o nível de confiança de
Passo 1
O enunciado e os dados que temos (tirei todos estes números do problema):
- Registro histórico: o comprimento total médio era
pés (valor de referência). - Amostra aleatória de
barcos. - Média amostral:
pés. - Desvio padrão amostral:
pés. - Suposição: o comprimento segue aproximadamente uma distribuição normal.
O enunciado pede:
(a) formular as hipóteses nula e alternativa;
(b) identificar o estimador de teste e sua distribuição probabilística;
(c) especificar a região de rejeição para nível de significância;
(d) dar conclusão prática, em linguagem não técnica, com base na amostra;
(e) construir um intervalo de confiança depara o novo comprimento médio.
Passo 2
(a) Formular as hipóteses.
- Explicação didática rápida: a hipótese nula (
) é a afirmação que queremos testar (geralmente “sem mudança”) e a hipótese alternativa ( ) é o que a Associação suspeita. Aqui a Associação teme que os barcos estejam maiores — isto é, o comprimento médio tenha aumentado. - Portanto escrevemos as hipóteses em termos da média populacional
:
Isto é um teste unilateral à direita (buscamos evidência de aumento).
Passo 3
(b) Identificar o estimador de teste e sua distribuição.
- Como a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena (
), usamos o teste t de Student de amostra única. - O estimador de teste (estatística) é a estatística t:
onde:
-
é a média amostral ( pés), -
é o valor sob (aqui pés), -
é o desvio padrão amostral ( pés), -
é o tamanho da amostra ( ). - Sob
e assumindo normalidade, a distribuição de é a distribuição de Student com graus de liberdade, ou seja:
Passo 4
Calcular a estatística de teste numericamente (passo a passo).
- Primeiro calcular o erro padrão da média:
- Agora calcular
:
- Interpretação intuitiva: a média amostral está aproximadamente
erros padrão acima do valor hipotetizado .
Passo 5
(c) Região de rejeição para
.
- Explicação didática: em um teste unilateral à direita com nível
, rejeitamos se for maior que o quantil superior de com graus de liberdade, isto é . - Aqui
e . O quantil relevante é . - Valor tabelado (ou calculado) é aproximadamente
- Região crítica (região de rejeição):
Passo 6
Aplicar a decisão do teste e obter o p-valor aproximado.
- Comparação numérica:
e o limite crítico é . Como , rejeitamos ao nível de significância de . - Cálculo do p-valor (explicando o que é): o p-valor é a probabilidade, sob
, de observar um tão extremo ou mais extremo que o observado. Para um teste unilateral à direita,
- Aproximação usando quantis conhecidos: para
, corresponde a p-valor unilateral . Nosso é um pouco menor, então o p-valor unilateral é um pouco maior que . Uma boa aproximação é
- Como
, isso confirma a decisão de rejeitar .
Passo 7
(d) Conclusão em termos não técnicos (linguagem amigável).
- Tradução direta do resultado: “Com base na amostra de 16 barcos, há evidências estatísticas suficientes, ao nível de confiança correspondente a
, de que o comprimento médio dos barcos no lago é maior do que pés.” - Em linguagem prática e leve: “Os dados sugerem que, em média, os barcos estão maiores do que antes — a preocupação da Associação sobre aumento do tamanho parece estar justificada, pelo menos segundo esta amostra. Seria bom ampliar a amostra no futuro para confirmar, mas os resultados atuais indicam um aumento médio real.”
Passo 8
(e) Construir o intervalo de confiança de
para a média.
- Explicação: com variância desconhecida e amostra pequena, o intervalo de confiança para
usa a distribuição . Para nível de confiança (ou seja, ), o quantil crítico bilateral é . - Valor já usado:
- Margem de erro:
- Intervalo de confiança:
- Calculando os limites:
- Interpretação simples: com
de confiança, o comprimento médio real dos barcos está entre aproximadamente e pés. Observe que pés fica fora deste intervalo, o que está de acordo com o teste que rejeitou .
Resposta
(a)
\quad e \quad
(b) Estatística de teste
, com
sob
.
(c) Região de rejeição para
(unilateral direita): rejeitar
se
. (Aqui
, logo rejeita-se
.)
(d) Conclusão prática: Há evidência estatística, com nível de significância
, de que o comprimento médio dos barcos no lago aumentou — os barcos parecem ser, em média, maiores que
pés.
(e) Intervalo de confiança de
para
: aproximadamente
pés.