Um fabricante afirma que no máximo 10 \% dos seus produtos são defeituosos. Um órgão de defesa do consumidor testa uma amostra de 81 desses itens, detectando 13,8 \% de defeituosos. Encontre a região crítica para um nível de significância de 5 \%.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A afirmação do fabricante: no máximo 10\% dos produtos são defeituosos.
  • Amostra: n=81 itens.
  • Observação reportada: 13{,}8\% defeituosos (isto é, \hat p_{\text{obs}}=0{,}138).
  • Nível de significância: \alpha=0{,}05.
    O que se pede: encontrar a região crítica para testar a afirmação do fabricante com nível de significância 5\%.

Passo 2

Definimos as hipóteses (pela leitura "no máximo 10\%" a hipótese alternativa é de proporção maior):
H_0: p \le 0{,}10
H_1: p > 0{,}10
Explicação do teste escolhido e da estatística:
  • Para testar uma proporção populaional usamos a aproximação normal quando a amostra é grande o suficiente (verificamos n p_0 e n(1-p_0) abaixo).
  • A estatística de teste padronizada (teste z para proporção sob H_0) é
Z=\frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}},
onde:
  • \hat p é a proporção amostral observada,
  • p_0 é a proporção sob H_0 (aqui p_0=0{,}10),
  • n é o tamanho da amostra.
  • Condições de validade da aproximação normal: n p_0 \ge 5 e n(1-p_0)\ge5. Aqui n p_0 =81\cdot0{,}10=8{,}1\ge5 e n(1-p_0)=81\cdot0{,}90=72{,}9\ge5, logo a aproximação é apropriada.

Passo 3

Determinar o valor crítico em termos de Z:
  • Como o teste é unilateral à direita com \alpha=0{,}05, o valor crítico para Z é o quantil
z_{1-\alpha}=z_{0{,}95}\approx 1{,}645.
Isto significa que rejeitamos H_0 se
Z>1{,}645.

Passo 4

Converter a condição em termos de \hat p:
  • Despejando \hat p da desigualdade \dfrac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}>1{,}645 obtemos o limite crítico para \hat p:
\hat p > p_0 + 1{,}645\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}.
  • Calcular o desvio padrão sob H_0:
\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\dfrac{0{,}10\cdot0{,}90}{81}}=\sqrt{\dfrac{0{,}09}{81}}=\sqrt{0{,}001111\ldots}=\frac{1}{30}=0{,}033333\ldots
  • Multiplicando por 1{,}645:
1{,}645\cdot\frac{1}{30}= \frac{1{,}645}{30}\approx0{,}0548333\ldots
  • Logo o limite crítico para \hat p é
\hat p_{\text{crit}} = 0{,}10 + 0{,}0548333\ldots \approx 0{,}15483 \quad(\text{ou }15{,}483\%).

Passo 5

Expressar a região crítica em termos do número de defeituosos X:
  • Como \hat p = X/n, a condição \hat p>0{,}15483 equivale a
\frac{X}{81} > 0{,}15483 \quad\Longleftrightarrow\quad X > 81\cdot0{,}15483 \approx 12{,}553.
  • Como X é inteiro, isso significa rejeitar H_0 se X\ge 13.
  • Verificação rápida: \tfrac{13}{81}\approx0{,}16049>0{,}15483 e \tfrac{12}{81}\approx0{,}14815<0{,}15483, logo o corte em X\ge13 está correto.

Resposta

Rejeitar H_0 se \hat p>0{,}15483 (aprox. 15{,}48\%); equivalentemente, rejeitar H_0 se o número de defeituosos X\ge 13 (em n=81).

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