Um fabricante afirma que no máximo
dos seus produtos são defeituosos. Um órgão de defesa do consumidor testa uma amostra de 81 desses itens, detectando
de defeituosos. Encontre a região crítica para um nível de significância de
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A afirmação do fabricante: no máximo
dos produtos são defeituosos. - Amostra:
itens. - Observação reportada:
defeituosos (isto é, ). - Nível de significância:
.
O que se pede: encontrar a região crítica para testar a afirmação do fabricante com nível de significância.
Passo 2
Definimos as hipóteses (pela leitura "no máximo
" a hipótese alternativa é de proporção maior):
Explicação do teste escolhido e da estatística:
- Para testar uma proporção populaional usamos a aproximação normal quando a amostra é grande o suficiente (verificamos
e abaixo). - A estatística de teste padronizada (teste z para proporção sob
) é
onde:
-
é a proporção amostral observada, -
é a proporção sob (aqui ), -
é o tamanho da amostra. - Condições de validade da aproximação normal:
e . Aqui e , logo a aproximação é apropriada.
Passo 3
Determinar o valor crítico em termos de
:
- Como o teste é unilateral à direita com
, o valor crítico para é o quantil
Isto significa que rejeitamos
se
Passo 4
Converter a condição em termos de
:
- Despejando
da desigualdade obtemos o limite crítico para :
- Calcular o desvio padrão sob
:
- Multiplicando por
:
- Logo o limite crítico para
é
Passo 5
Expressar a região crítica em termos do número de defeituosos
:
- Como
, a condição equivale a
- Como
é inteiro, isso significa rejeitar se . - Verificação rápida:
e , logo o corte em está correto.
Resposta
Rejeitar
se
(aprox.
); equivalentemente, rejeitar
se o número de defeituosos
(em
).