Qual é o comprimento de um trem viajando a uma velocidade de
da velocidade da luz para uma pessoa que está parada do lado de fora do trem, em uma plataforma de uma estação ferroviária? O comprimento do trem em repouso é de 200 metros. [142,83 m]
Passo 1
O enunciado pede o comprimento do trem medido por uma pessoa parada na plataforma, com os seguintes dados fornecidos:
- Comprimento do trem em repouso (comprimento próprio):
. - Velocidade do trem relativa à plataforma:
(ou seja, da velocidade da luz).
A pergunta é: qual o comprimento do trem medido pela pessoa na plataforma?
Passo 2
Conceitos essenciais (explicação didática, passo a passo):
- Comprimento próprio
é o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso (aqui, o trem). - Para um observador que vê o objeto em movimento, o comprimento medido
é menor devido ao fenômeno chamado contração de Lorentz (ou contração de comprimento). - Importante: para medir o comprimento de um objeto em movimento num certo referencial, o observador desse referencial deve registrar as posições das duas extremidades do objeto ao mesmo tempo nesse referencial (ou seja, as medições das posições das extremidades devem ser simultâneas no referencial da plataforma). Se não forem simultâneas, não se obtém o comprimento físico no referencial.
Passo 3
Fórmula e significado das variáveis:
- A fórmula da contração de comprimento é
onde
-
é o comprimento medido no referencial onde o objeto se move (aqui: plataforma); -
é o comprimento próprio (aqui: ); -
é a velocidade do objeto relativa ao observador (aqui: ); -
é a velocidade da luz. - Breve derivação (intuitiva e curta, sem pular etapas): pelas transformações de Lorentz temos, para duas posições medidas simultaneamente no referencial da plataforma (
),
onde
é a separação no referencial do trem (igual a
),
é a separação medida na plataforma (igual a
) e
é o fator de Lorentz. Reorganizando,
Aqui fica claro por que usamos
: porque queremos as posições das duas extremidades registradas ao mesmo tempo no referencial da plataforma.
Passo 4
Aplicando aos números do enunciado:
- Calcular
:
- Calcular o termo dentro da raiz:
- Portanto a raiz é
. Uma forma conveniente de pensar sem calculadora é escrever e estimar . Sabendo que e que é um pouco maior, pode-se usar uma aproximação (por exemplo método de Newton) ou uma aproximação linear para encontrar
Passo 5
Multiplicando pelo comprimento próprio:
Fazendo a multiplicação:
Passo 6
Arredondamento e interpretação final:
- Arredondando para duas casas decimais fica
. - Interpretação física curta: para o observador na plataforma o trem parece encurtado porque as medições das extremidades precisam ser simultâneas no referencial da plataforma; essa contração só depende da velocidade relativa e não do material do trem.
Passo 7
Resumo encorajador: a conta é direta quando se lembra da fórmula de contração e do que significa medir comprimentos em referenciais diferentes. Está ótimo — já conseguiu a ideia principal e o cálculo!