A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a introdução de uma toxina é dada por
f(t)= \begin{cases}t+7 & , t<5 \\\\ -8 t+72, & t \geq 5\end{cases}
(a) Quanto tempo levará para a colônia se extinguir?
(b) Existe algum instante em que a população varia abruptamente ou esta variação se dá de modo contínuo ao longo do tempo?

Passo 1

O enunciado nos dá a população (em milhares) de uma colônia de bactérias t\) minutos após a introdução de uma toxina pela função por partes \[f(t)= \begin{cases}t+7 & ,\\ t<5 \\[4pt] -8t+72 & ,\\ t\ge 5\end{cases}
Informações e pedidos do problema:
  • A população está em unidades de milhares.
  • A variável t\] representa tempo em minutos. - Pergunta (a): "Quanto tempo levará para a colônia se extinguir?" — isto é, pedir o(s) valor(es) de \(t para os quais a população atinge zero, ou seja, resolver f(t)=0.
    - Pergunta (b): “Existe algum instante em que a população varia abruptamente ou esta variação se dá de modo contínuo ao longo do tempo?” — isto é, verificar se f é contínua ou se apresenta alguma descontinuidade (por exemplo, um salto) em algum instante, especialmente no ponto onde a definição da função muda ( t=5).]

Passo 2

Entendendo o que significa “extinguir” e como resolver isso passo a passo:
  • A colônia “se extinguir” significa que a população chega a zero, isto é, queremos achar t tal que f(t)=0.
  • Como f é dada por partes, devemos resolver f(t)=0 separadamente em cada ramo (para t<5 e para t\ge 5) e só aceitar soluções que pertençam ao respectivo intervalo.
  • Lembrete rápido sobre equações lineares simples: para resolver uma equação do tipo at+b=0 (com a\neq 0), isolamos t com
t=-\dfrac{b}{a}.
Vou aplicar isso a cada ramo.

Passo 3

Resolver f(t)=0 no ramo t<5, onde f(t)=t+7.
  • Colocar a equação:
t+7=0
  • Isolar t:
t=-7.
  • Verificação do domínio: essa solução satisfaz t<5, mas corresponde a t=-7 minutos, ou seja, tempo negativo. Em problemas físicos de tempo positivo, descartamos soluções com t<0 porque não têm significado físico aqui (a introdução da toxina foi em t=0). Mesmo sem forçar t\ge 0, a solução é antes do início, portanto não é o instante real de extinção após a introdução da toxina. Logo, não usamos t=-7 como resposta física.

Passo 4

Resolver f(t)=0 no ramo t\ge 5, onde f(t)=-8t+72.
  • Colocar a equação:
-8t+72=0
  • Isolar t: subtrai-se 72 e divide-se por -8,
-8t=-72\quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{-72}{-8}=\dfrac{72}{8}=9.
  • Verificação do domínio: t=9 satisfaz t\ge 5. Além disso t=9 é um tempo não negativo, então é aceitável fisicamente. Concluímos que a colônia se extingue em t=9 minutos (lembrando que f está em milhares, então a população chega a 0 milhares).

Passo 5

Agora vamos analisar a continuidade da função ao longo do tempo e responder se há variação abrupta.
  • Observação geral: funções lineares do tipo at+b são contínuas em todo o seu domínio. Cada ramo de f (o ramo t+7 e o ramo -8t+72) é uma reta, logo cada um é contínuo em seu conjunto aberto de definição.
  • Possível problema de continuidade só pode ocorrer no ponto onde a definição muda, ou seja em t=5. Para verificar continuidade em t=5 usamos o critério: f é contínua em t=5 se, e somente se,
\lim_{t\to 5^-} f(t)=f(5)=\lim_{t\to 5^+} f(t).
Vou calcular cada um desses três valores.

Passo 6

Calcular a limitação pela esquerda em t=5, isto é \lim_{t\to 5^-} f(t).
  • Para t<5 vale f(t)=t+7. Substituindo t\to 5 (uma reta tem limite igual ao valor substituído),
\lim_{t\to 5^-} f(t)=5+7=12.

Passo 7

Calcular o valor f(5) e a limitação pela direita \lim_{t\to 5^+} f(t).
  • Pelo enunciado, para t\ge 5 usamos f(t)=-8t+72. Assim o valor da função em t=5 é
f(5)=-8\cdot 5 +72 = -40+72=32.
  • Como é uma reta, a limite pela direita coincide com o valor substituído:
\lim_{t\to 5^+} f(t)=32.

Passo 8

Compare os valores para concluir sobre continuidade:
  • Encontramos
\lim_{t\to 5^-} f(t)=12, \qquad f(5)=32, \qquad \lim_{t\to 5^+} f(t)=32.
  • Como \lim_{t\to 5^-} f(t)\neq f(5) (especificamente 12\neq 32), a função não é contínua em t=5. Trata-se de uma descontinuidade do tipo salto (jump): o valor salta de 12 milhares imediatamente antes de 5 para 32 milhares em 5.
  • Fora desse ponto t=5, cada ramo é contínuo, portanto f varia de modo contínuo para t<5 e para t>5, mas apresenta uma variação abrupta exatamente em t=5.

Passo 9

Interpretação física e observação final — em tom de colega: olha, isso significa que logo antes de 5 minutos a população estava em 12 milhares, e no instante 5 a função dá 32 milhares — um salto de 32-12=20 milhares. Pode parecer estranho biologicamente (uma toxina normalmente não aumenta bruscamente a população), mas matematicamente a função foi definida assim e é isso que precisamos relatar na prova: salto em t=5 e extinção em t=9. Força aí — você já pegou a ideia: resolver por partes, verificar domínio e checar limites no ponto da mudança é a receita padrão para essas funções por partes.

Resposta

(a) t=9 minutos.
(b) Há uma variação abrupta em t=5 (salto de 20 milhares); fora desse ponto a variação é contínua.

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