(a) Quanto tempo levará para a colônia se extinguir?
(b) Existe algum instante em que a população varia abruptamente ou esta variação se dá de modo contínuo ao longo do tempo?
Passo 1
O enunciado nos dá a população (em milhares) de uma colônia de bactérias t\) minutos após a introdução de uma toxina pela função por partes
\[f(t)= \begin{cases}t+7 & ,\\ t<5 \\[4pt] -8t+72 & ,\\ t\ge 5\end{cases}
Informações e pedidos do problema:
A população está em unidades de milhares.
A variável t\] representa tempo em minutos.
- Pergunta (a): "Quanto tempo levará para a colônia se extinguir?" — isto é, pedir o(s) valor(es) de \(t para os quais a população atinge zero, ou seja, resolver f(t)=0.
- Pergunta (b): “Existe algum instante em que a população varia abruptamente ou esta variação se dá de modo contínuo ao longo do tempo?” — isto é, verificar se f é contínua ou se apresenta alguma descontinuidade (por exemplo, um salto) em algum instante, especialmente no ponto onde a definição da função muda (t=5).]
Passo 2
Entendendo o que significa “extinguir” e como resolver isso passo a passo:
A colônia “se extinguir” significa que a população chega a zero, isto é, queremos achar t tal que f(t)=0.
Como f é dada por partes, devemos resolver f(t)=0 separadamente em cada ramo (para t<5 e para t\ge 5) e só aceitar soluções que pertençam ao respectivo intervalo.
Lembrete rápido sobre equações lineares simples: para resolver uma equação do tipo at+b=0 (com a\neq 0), isolamos t com
t=-\dfrac{b}{a}.
Vou aplicar isso a cada ramo.
Passo 3
Resolver f(t)=0 no ramo t<5, onde f(t)=t+7.
Colocar a equação:
t+7=0
Isolar t:
t=-7.
Verificação do domínio: essa solução satisfaz t<5, mas corresponde a t=-7 minutos, ou seja, tempo negativo. Em problemas físicos de tempo positivo, descartamos soluções com t<0 porque não têm significado físico aqui (a introdução da toxina foi em t=0). Mesmo sem forçar t\ge 0, a solução é antes do início, portanto não é o instante real de extinção após a introdução da toxina. Logo, não usamos t=-7 como resposta física.
Verificação do domínio: t=9 satisfaz t\ge 5. Além disso t=9 é um tempo não negativo, então é aceitável fisicamente. Concluímos que a colônia se extingue em t=9 minutos (lembrando que f está em milhares, então a população chega a 0 milhares).
Passo 5
Agora vamos analisar a continuidade da função ao longo do tempo e responder se há variação abrupta.
Observação geral: funções lineares do tipo at+b são contínuas em todo o seu domínio. Cada ramo de f (o ramo t+7 e o ramo -8t+72) é uma reta, logo cada um é contínuo em seu conjunto aberto de definição.
Possível problema de continuidade só pode ocorrer no ponto onde a definição muda, ou seja em t=5. Para verificar continuidade em t=5 usamos o critério: f é contínua em t=5 se, e somente se,
\lim_{t\to 5^-} f(t)=f(5)=\lim_{t\to 5^+} f(t).
Vou calcular cada um desses três valores.
Passo 6
Calcular a limitação pela esquerda em t=5, isto é \lim_{t\to 5^-} f(t).
Para t<5 vale f(t)=t+7. Substituindo t\to 5 (uma reta tem limite igual ao valor substituído),
\lim_{t\to 5^-} f(t)=5+7=12.
Passo 7
Calcular o valor f(5) e a limitação pela direita \lim_{t\to 5^+} f(t).
Pelo enunciado, para t\ge 5 usamos f(t)=-8t+72. Assim o valor da função em t=5 é
f(5)=-8\cdot 5 +72 = -40+72=32.
Como é uma reta, a limite pela direita coincide com o valor substituído:
\lim_{t\to 5^+} f(t)=32.
Passo 8
Compare os valores para concluir sobre continuidade:
Como \lim_{t\to 5^-} f(t)\neq f(5) (especificamente 12\neq 32), a função não é contínua em t=5. Trata-se de uma descontinuidade do tipo salto (jump): o valor salta de 12 milhares imediatamente antes de 5 para 32 milhares em 5.
Fora desse ponto t=5, cada ramo é contínuo, portanto f varia de modo contínuo para t<5 e para t>5, mas apresenta uma variação abrupta exatamente em t=5.
Passo 9
Interpretação física e observação final — em tom de colega: olha, isso significa que logo antes de 5 minutos a população estava em 12 milhares, e no instante 5 a função dá 32 milhares — um salto de 32-12=20 milhares. Pode parecer estranho biologicamente (uma toxina normalmente não aumenta bruscamente a população), mas matematicamente a função foi definida assim e é isso que precisamos relatar na prova: salto em t=5 e extinção em t=9. Força aí — você já pegou a ideia: resolver por partes, verificar domínio e checar limites no ponto da mudança é a receita padrão para essas funções por partes.
Resposta
(a) t=9 minutos.
(b) Há uma variação abrupta em t=5 (salto de 20 milhares); fora desse ponto a variação é contínua.