Suponha que num trem com velocidade constante de 360 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ( 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ) haja um pêndulo oscilando, cujo período, medido no interior do trem, é de 2,0 \mathrm{~s}.
(a) Qual o tempo de oscilação desse pêndulo medido por um observador na plataforma da estação? [2,0 s]
(b) Qual deveria ser a velocidade do trem para que o observador externo obtivesse um intervalo de tempo de 2,000002 \mathrm{~s} ? (Considere na resposta até sete algarismos significativos.) [ 300000,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Período medido no interior do trem (tempo próprio do pêndulo): \tau = 2{,}0\\ \mathrm{s}.
  • Velocidade do trem no item (a): v = 100\\ \mathrm{m/s}.
  • No item (b) pede a velocidade v necessária para que um observador externo meça um intervalo t = 2{,}000002\\ \mathrm{s}.
  • Adote a velocidade da luz aproximada \;c = 3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
As perguntas:
(a) Qual o tempo de oscilação medido pelo observador na plataforma?
(b) Qual deve ser a velocidade do trem para que o observador externo meça t = 2{,}000002\\ \mathrm{s}?

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Em relatividade especial, o intervalo de tempo medido pelo relógio que está em repouso em relação ao evento é o tempo próprio \tau. Um observador que vê esse relógio movendo-se com velocidade v medirá um intervalo de tempo dilatado t.
  • A relação é dada pelo fator de Lorentz \gamma e a dilatação temporal:
\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}, \qquad t = \gamma\,\tau.
Aqui:
  • \tau é o tempo próprio (aqui o período medido dentro do trem),
  • t é o tempo medido pelo observador externo,
  • v é a velocidade relativa entre observador e o relógio,
  • c é a velocidade da luz.
    Explicação curta: \gamma é sempre \ge 1; assim o observador externo mede um intervalo igual ou maior que \tau (tempo “dilatado”).

Passo 3

Aplicando ao item (a) — calcular \gamma para v=100\\ \mathrm{m/s} e obter t.
Calculo do termo pequeno \dfrac{v^{2}}{c^{2}}:
\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=\dfrac{(100)^{2}}{(3{,}0\times10^{8})^{2}} =\dfrac{10^{4}}{9{,}0\times10^{16}} \approx 1{,}111111\times10^{-13}.
Como \dfrac{v^{2}}{c^{2}} é extremamente pequeno, podemos usar a expansão \gamma\approx 1+\dfrac{1}{2}\dfrac{v^{2}}{c^{2}}. Então
\gamma\approx 1+\tfrac{1}{2}\times 1{,}111111\times10^{-13} \approx 1+5{,}555556\times10^{-14}.
Agora o tempo medido pelo observador da plataforma:
t=\gamma\,\tau \approx \bigl(1+5{,}555556\times10^{-14}\bigr)\times 2{,}0 =2{,}0 + 1{,}111111\times10^{-13}\\ \mathrm{s}.
Ou seja, numericamente t\approx 2{,}00000000000011\\ \mathrm{s}. A diferença em relação a 2{,}0\\ \mathrm{s} é de ordem 10^{-13}\\ \mathrm{s}, totalmente desprezível na prática, portanto o observador externo mede essencialmente 2{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Agora o item (b): queremos t=2{,}000002\\ \mathrm{s} quando \tau=2{,}0\\ \mathrm{s}. Primeiro obtenha \gamma:
\gamma=\dfrac{t}{\tau}=\dfrac{2{,}000002}{2{,}0}=1{,}000001.
Agora inverter a definição de \gamma para achar v:
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}} \quad\Rightarrow\quad 1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=\dfrac{1}{\gamma^{2}} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{v^{2}}{c^{2}}=1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}
e finalmente
v=c\,\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}.

Passo 5

Cálculo numérico (com aproximações apropriadas para pequenas diferenças):
  • Com \gamma=1{,}000001 tem-se \gamma^{2}=1{,}000002000001 e
1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}\approx 1{,}999997\times10^{-6}
(usar a expansão em série ou cálculo direto produz esse valor).
  • Logo
\beta\equiv \dfrac{v}{c}=\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}\approx \sqrt{1{,}999997\times10^{-6}}\approx 1{,}41421356\times10^{-3}.
  • Multiplicando por c=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
v \approx 3{,}0\times10^{8}\times 1{,}41421356\times10^{-3} \approx 4{,}242640687\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para sete algarismos significativos (conforme pedido), obtemos
v \approx 424264{,}1\\ \mathrm{m/s}.
Observação intuitiva: essa velocidade é muito grande em termos cotidianos (centenas de milhares de m/s), por isso um aumento de apenas 2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s} no intervalo medido exige uma velocidade relativisticamente significativa.

Resposta

(a) 2{,}0\\ \mathrm{s}
(b) 424264{,}1\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados