Suponha que num trem com velocidade constante de
(
) haja um pêndulo oscilando, cujo período, medido no interior do trem, é de
.
(a) Qual o tempo de oscilação desse pêndulo medido por um observador na plataforma da estação? [2,0 s]
(b) Qual deveria ser a velocidade do trem para que o observador externo obtivesse um intervalo de tempo de
? (Considere na resposta até sete algarismos significativos.) [
]
(a) Qual o tempo de oscilação desse pêndulo medido por um observador na plataforma da estação? [2,0 s]
(b) Qual deveria ser a velocidade do trem para que o observador externo obtivesse um intervalo de tempo de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Período medido no interior do trem (tempo próprio do pêndulo):
. - Velocidade do trem no item (a):
. - No item (b) pede a velocidade
necessária para que um observador externo meça um intervalo . - Adote a velocidade da luz aproximada
As perguntas:
(a) Qual o tempo de oscilação medido pelo observador na plataforma?
(b) Qual deve ser a velocidade do trem para que o observador externo meça ?
(a) Qual o tempo de oscilação medido pelo observador na plataforma?
(b) Qual deve ser a velocidade do trem para que o observador externo meça
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
- Em relatividade especial, o intervalo de tempo medido pelo relógio que está em repouso em relação ao evento é o tempo próprio
. Um observador que vê esse relógio movendo-se com velocidade medirá um intervalo de tempo dilatado . - A relação é dada pelo fator de Lorentz
e a dilatação temporal:
Aqui:
-
é o tempo próprio (aqui o período medido dentro do trem), -
é o tempo medido pelo observador externo, -
é a velocidade relativa entre observador e o relógio, -
é a velocidade da luz.
Explicação curta:é sempre ; assim o observador externo mede um intervalo igual ou maior que (tempo “dilatado”).
Passo 3
Aplicando ao item (a) — calcular
para
e obter
.
Calculo do termo pequeno :
Calculo do termo pequeno
Como
é extremamente pequeno, podemos usar a expansão
. Então
Agora o tempo medido pelo observador da plataforma:
Ou seja, numericamente
. A diferença em relação a
é de ordem
, totalmente desprezível na prática, portanto o observador externo mede essencialmente
.
Passo 4
Agora o item (b): queremos
quando
. Primeiro obtenha
:
Agora inverter a definição de
para achar
:
e finalmente
Passo 5
Cálculo numérico (com aproximações apropriadas para pequenas diferenças):
- Com
tem-se e
(usar a expansão em série ou cálculo direto produz esse valor).
- Logo
- Multiplicando por
:
Arredondando para sete algarismos significativos (conforme pedido), obtemos
Observação intuitiva: essa velocidade é muito grande em termos cotidianos (centenas de milhares de m/s), por isso um aumento de apenas
no intervalo medido exige uma velocidade relativisticamente significativa.
Resposta
(a)
(b)
(b)