Questão 3.
(a) Mostre que, para um objeto que pode girar em torno dos eixos
ou
:
lido a partir da origem, não a partir do eixo de rotação.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade entre os momentos de inércia medidos em relação aos eixos
,
e
que passam pela origem. Informação dada e objetivo claro:
- Tem-se um corpo qualquer distribuído no espaço com densidade tal que um elemento de massa é
. - A distância do elemento
à origem é , isto é onde são as coordenadas do elemento em relação à origem. - Devemos provar que
sendo
os momentos de inércia medidos em relação aos eixos
que passam pela origem (ou seja, eixos que atravessam a origem).
Passo 2
Relembrando a definição de momento de inércia em relação a um eixo: para um elemento de massa
cuja distância perpendicular ao eixo é
, a contribuição ao momento de inércia é
. Para os eixos coordenados as distâncias perpendiculares são fáceis de escrever em coordenadas cartesianas:
- Distância perpendicular do elemento ao eixo
é . Logo
- Distância perpendicular ao eixo
é . Logo
- Distância perpendicular ao eixo
é . Logo
Aqui cada integral é sobre todo o corpo; a variável de integração é
. Cada fórmula vem diretamente da definição geométrica da distância perpendicular ao eixo.
Passo 3
Agora somamos as três expressões obtidas:
no passo acima juntamos as integrais e agrupamos os termos semelhantes.]
Passo 4
Fatorando
e reconhecendo
obtemos
que é exatamente a identidade pedida. Esta demonstração usa só a definição de momento de inércia e a expressão cartesiana de
.
Passo 5
(Exemplo rápido para fixar) Para uma massa pontual
em
tem-se
,
,
. Somando dá
, que coincide com a fórmula integral no caso discreto
.