Questão 3.
(a) Mostre que, para um objeto que pode girar em torno dos eixos x, y ou z :
I_{x}+I_{y}+I_{z}=2 \int r^{2} d m
lido a partir da origem, não a partir do eixo de rotação.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade entre os momentos de inércia medidos em relação aos eixos x, y e z que passam pela origem. Informação dada e objetivo claro:
  • Tem-se um corpo qualquer distribuído no espaço com densidade tal que um elemento de massa é dm.
  • A distância do elemento dm à origem é r, isto é r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} onde (x,y,z) são as coordenadas do elemento em relação à origem.
  • Devemos provar que
I_{x}+I_{y}+I_{z}=2\int r^{2}\,dm,
sendo I_x,I_y,I_z os momentos de inércia medidos em relação aos eixos x,y,z que passam pela origem (ou seja, eixos que atravessam a origem).

Passo 2

Relembrando a definição de momento de inércia em relação a um eixo: para um elemento de massa dm cuja distância perpendicular ao eixo é d, a contribuição ao momento de inércia é d^{2}\,dm. Para os eixos coordenados as distâncias perpendiculares são fáceis de escrever em coordenadas cartesianas:
  • Distância perpendicular do elemento ao eixo x é \sqrt{y^{2}+z^{2}}. Logo
I_x=\int \bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)\,dm.
  • Distância perpendicular ao eixo y é \sqrt{x^{2}+z^{2}}. Logo
I_y=\int \bigl(x^{2}+z^{2}\bigr)\,dm.
  • Distância perpendicular ao eixo z é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Logo
I_z=\int \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dm.
Aqui cada integral é sobre todo o corpo; a variável de integração é dm. Cada fórmula vem diretamente da definição geométrica da distância perpendicular ao eixo.

Passo 3

Agora somamos as três expressões obtidas:
\begin{aligned} I_x+I_y+I_z &=\int\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)\,dm+\int\bigl(x^{2}+z^{2}\bigr)\,dm+\int\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dm\\[4pt] &=\int\bigl(2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}\bigr)\,dm \end{aligned}
no passo acima juntamos as integrais e agrupamos os termos semelhantes.]

Passo 4

Fatorando 2 e reconhecendo r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} obtemos
I_x+I_y+I_z=\int 2\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dm=2\int r^{2}\,dm,
que é exatamente a identidade pedida. Esta demonstração usa só a definição de momento de inércia e a expressão cartesiana de r^{2}.

Passo 5

(Exemplo rápido para fixar) Para uma massa pontual m em (x,y,z) tem-se I_x=m(y^{2}+z^{2}), I_y=m(x^{2}+z^{2}), I_z=m(x^{2}+y^{2}). Somando dá 2m(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2m r^{2}, que coincide com a fórmula integral no caso discreto \int r^{2}\,dm = m r^{2}.

Resposta

I_{x}+I_{y}+I_{z}=2\displaystyle\int r^{2}\,dm

Exercícios relacionados