Os comprimentos de onda de fótons emitidos pelo átomo de potássio, de 766,41 \mathrm{~nm} \mathrm{e} 769,90 \mathrm{~nm}, correspondem a transições de 4 p_{3 / 2} e 4 p_{1 / 2} para o estado fundamental. (a) Calcule a energia dos fótons. (b) A diferença entre as energias dos fótons é igual à diferença de energia \Delta E entre os estados 4 p_{3 / 2} e 4 p_{1 / 2} do potássio. Calcule \Delta E. (c) Estime o campo magnético sentido pelo elétron 4 p do potássio.

Passo 1

O enunciado dá os comprimentos de onda dos fótons emitidos nas transições 4p_{3/2}\to estado fundamental e 4p_{1/2}\to estado fundamental do átomo de potássio: \,766{,}41\\ \mathrm{nm} e \,769{,}90\\ \mathrm{nm}.\n
As perguntas são: (a) calcular a energia dos fótons correspondentes a cada comprimento de onda; (b) calcular a diferença de energia \Delta E entre os dois fótons (que é a diferença entre os níveis 4p_{3/2} e 4p_{1/2}); (c) estimar o campo magnético efetivo sentido pelo elétron 4p.\n
Informações relevantes fornecidas no enunciado: os dois comprimentos de onda citados ( 766{,}41\\ \mathrm{nm} e 769{,}90\\ \mathrm{nm}).\n
Não há outras figuras nem tabelas; usaremos constantes físicas conhecidas.

Passo 2

Fórmula básica para energia de um fóton: a energia E de um fóton de comprimento de onda \lambda é dada por
E=\frac{hc}{\lambda},
onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz. Vou explicar cada símbolo:\n
  • h é a constante de Planck, \;h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.\n
  • c é a velocidade da luz no vácuo, \;c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.\n
  • \lambda é o comprimento de onda em metros; aqui os dados estão em nanômetros, então convertemos: 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}.\n
    Também é útil lembrar a constante hc, frequentemente usada já em J·m:
hc \approx 1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Agora vamos aplicar a fórmula para cada comprimento de onda, convertendo \mathrm{nm} para \mathrm{m}.

Passo 3

Cálculo detalhado da energia do fóton de \,766{,}41\\ \mathrm{nm}.\n
Primeiro converto o comprimento de onda:
\lambda_{1}=766{,}41\\ \mathrm{nm}=766{,}41\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=7{,}6641\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Agora aplico E=\dfrac{hc}{\lambda}:
E_{1}=\frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{7{,}6641\times10^{-7}}\\ \mathrm{J} =2{,}5919\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Explicação do cálculo: dividi a constante hc pelo valor de \lambda_{1} em metros; o resultado ficou em joules porque hc está em J·m e \lambda em m.\n
Se quiser em elétron-volts (útil para intuição), usamos 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
E_{1}\approx\frac{2{,}5919\times10^{-19}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx1{,}62\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Cálculo detalhado da energia do fóton de \,769{,}90\\ \mathrm{nm}.\n
Converto o comprimento de onda:
\lambda_{2}=769{,}90\\ \mathrm{nm}=769{,}90\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=7{,}6990\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Aplico E=\dfrac{hc}{\lambda}:
E_{2}=\frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{7{,}6990\times10^{-7}}\\ \mathrm{J} =2{,}5801\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Conversão para eV:
E_{2}\approx\frac{2{,}5801\times10^{-19}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx1{,}61\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Cálculo da diferença de energia \Delta E entre os dois fótons (parte b).\n
Definimos
\Delta E=E_{1}-E_{2}.
Substituindo os valores obtidos:
\Delta E=2{,}5919\times10^{-19}\\ \mathrm{J}-2{,}5801\times10^{-19}\\ \mathrm{J} =1{,}175\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Em elétron-volts:
\Delta E\approx\frac{1{,}175\times10^{-21}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx7{,}34\times10^{-3}\\ \mathrm{eV}=0{,}00734\\ \mathrm{eV}.
Interpretação física rápida: essa pequena diferença de energia corresponde ao splitting entre os subníveis 4p_{3/2} e 4p_{1/2} (spin–orbit).

Passo 6

Estimativa do campo magnético efetivo sentido pelo elétron 4p (parte c) — explicando a ideia física.\n
Raciocínio: a separação energética \Delta E pode ser interpretada como resultado da interação do momento magnético do spin eletrônico com um campo magnético efetivo interno B_{\mathrm{eff}} originado do movimento orbital (spin–orbit). Aproximamos essa energia pela energia de Zeeman do spin:
\Delta E \approx g_{s}\,\mu_{B}\,B_{\mathrm{eff}},
onde:\n
  • g_{s} é o fator de Landé do elétron para o spin (para elétron livre g_{s}\approx2);\n
  • \mu_{B} é o magnetão de Bohr, \;\mu_{B}=\dfrac{e\hbar}{2m_{e}}\approx9{,}2740100783\times10^{-24}\\ \mathrm{J/T}.\n
    Isolando B_{\mathrm{eff}}:
B_{\mathrm{eff}}\approx\frac{\Delta E}{g_{s}\,\mu_{B}}.
Agora substituo números: usamos g_{s}=2 e \Delta E=1{,}175\times10^{-21}\\ \mathrm{J}:
B_{\mathrm{eff}}\approx\frac{1{,}175\times10^{-21}}{2\times9{,}2740100783\times10^{-24}}\\ \mathrm{T} \approx6{,}34\times10^{1}\\ \mathrm{T}=63{,}4\\ \mathrm{T}.
Comentários: esse é um valor aproximado e serve para ter ordem de grandeza do campo interno associado ao acoplamento spin–órbita; campos efetivos internos em átomos costumam ser dezenas a centenas de tesla — ou seja, o resultado é razoável.

Resposta

(a) E_{1}=2{,}592\times10^{-19}\\ \mathrm{J} (para \lambda=766{,}41\\ \mathrm{nm}); E_{2}=2{,}580\times10^{-19}\\ \mathrm{J} (para \lambda=769{,}90\\ \mathrm{nm}).\n
(b) \Delta E=1{,}18\times10^{-21}\\ \mathrm{J}\approx7{,}34\times10^{-3}\\ \mathrm{eV}.\n
(c) B_{\mathrm{eff}}\approx6{,}34\times10^{1}\\ \mathrm{T}\\ (\text{aproximadamente }63{,}4\\ \mathrm{T}).

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