O zinco é um metal divalente. Para esse elemento, calcule (a) a concentração de elétrons de condução, (b) a energia de Fermi, (c) a velocidade de Fermi, (d) a temperatura de Fermi e (e) a energia média dos elétrons em
. Dados:
.
Passo 1
O enunciado dá que o zinco é metálico com valência divalente e pede cinco quantidades: (a) concentração de elétrons de condução, (b) energia de Fermi, (c) velocidade de Fermi, (d) temperatura de Fermi e (e) energia média dos elétrons em
. Dados fornecidos:
Informação adicional usada (constantes físicas):
Lista clara do que precisamos calcular:
(a) — número de elétrons livres por volume (em
);
(b) — energia de Fermi (em J e em eV);
(c) — velocidade de Fermi (em
);
(d) — temperatura de Fermi (em K);
(e) — energia média por elétron em
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 2
Converter unidades e achar o número de átomos por volume (passo obrigatório para achar
):
Explicação do método: cada átomo de zinco contribui com elétrons livres (divalente). Para achar a concentração atômica (átomos por
) usamos a relação
Explicação do método: cada átomo de zinco contribui com
onde
deve estar em
e
em
. Aqui:
Cálculo passo a passo:
Multiplicando por
:
Como cada átomo dá
elétrons livres, a concentração de elétrons é
Comentário: esse procedimento é muito usado em sólidos simples — massa volumétrica dá mols por volume, multiplicando por
obtemos átomos por volume.
Passo 3
Energia de Fermi
: teoria e fórmula
Explicação física curta: para elétrons livres em um metal (modelo de elétrons livres) a máxima energia ocupada a é a energia de Fermi. Para um gás livre de elétrons tridimensional,
Explicação física curta: para elétrons livres em um metal (modelo de elétrons livres) a máxima energia ocupada a
onde o vetor de Fermi
é dado por
Aqui
é a concentração de elétrons que já calculamos,
é a constante reduzida e
a massa do elétron.
Cálculo numérico passo a passo:
Primeiro calculemos :
Primeiro calculemos
Agora
:
Agora
:
Calculemos
:
Multiplicando por
(
):
Converter para elétron‑volt (1 eV
):
Resumo: energia de Fermi calculada é cerca de
(ou
).
Passo 4
Velocidade de Fermi
: definição e cálculo
Fórmula: a velocidade de Fermi é a velocidade correspondente à energia de Fermi para elétrons livres,
Fórmula: a velocidade de Fermi é a velocidade correspondente à energia de Fermi para elétrons livres,
Significado:
é a velocidade típica dos elétrons ocupando os estados próximos ao nível de Fermi; aparece em propriedades de transporte.
Cálculo numérico:
Usando ,
Usando
Calcule o numerador:
.
Dividindo por :
Dividindo por
Interpretação:
é da ordem de
— elétrons nos metais se movem muito rápido, apesar das correntes macroscópicas serem pequenas devido a muitos espalhamentos.
Passo 5
Temperatura de Fermi
: definição e cálculo
Definição: temperatura de Fermi é a temperatura correspondente à energia de Fermi via a constante de Boltzmann,
Definição: temperatura de Fermi é a temperatura correspondente à energia de Fermi via a constante de Boltzmann,
Isso dá uma escala de temperatura acima da qual efeitos térmicos começam a competir com a energia quântica de Fermi.
Cálculo numérico:
Comentário: temperaturas de Fermi em metais são da ordem de
–
, muito maiores que temperaturas ambiente; por isso à temperatura ambiente o gás eletrônico é degrau Fermi muito “frio” e as propriedades são dominadas por estados perto de
.
Passo 6
Energia média dos elétrons em
Teoria e fórmula: para um gás de Fermi livre tridimensional a energia média por elétron (energia interna total dividida pelo número de elétrons) a é
Teoria e fórmula: para um gás de Fermi livre tridimensional a energia média por elétron (energia interna total dividida pelo número de elétrons) a
Isto vem da integração da densidade de estados ocupada até
.
Cálculo numérico:
Em eV:
Comentário final: essa é a energia média por elétron a
; note que é menor que
(pois
).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)