O zinco é um metal divalente. Para esse elemento, calcule (a) a concentração de elétrons de condução, (b) a energia de Fermi, (c) a velocidade de Fermi, (d) a temperatura de Fermi e (e) a energia média dos elétrons em T=0 \mathrm{~K}. Dados: \rho=7,133 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, M_{\text {mol }}=65,37 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O enunciado dá que o zinco é metálico com valência divalente e pede cinco quantidades: (a) concentração de elétrons de condução, (b) energia de Fermi, (c) velocidade de Fermi, (d) temperatura de Fermi e (e) energia média dos elétrons em T=0\\ \mathrm{K}. Dados fornecidos:
\rho = 7,133\\ \mathrm{g/cm^3},\qquad M_{\mathrm{mol}} = 65,37\\ \mathrm{g/mol}.
Informação adicional usada (constantes físicas):
N_A = 6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}},
m_e = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
\hbar = 1,054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s},
k_B = 1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
Lista clara do que precisamos calcular:
(a) n — número de elétrons livres por volume (em \mathrm{m^{-3}});
(b) E_F — energia de Fermi (em J e em eV);
(c) v_F — velocidade de Fermi (em \mathrm{m/s});
(d) T_F — temperatura de Fermi (em K);
(e) \langle E\rangle — energia média por elétron em T=0\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Converter unidades e achar o número de átomos por volume (passo obrigatório para achar n):
Explicação do método: cada átomo de zinco contribui com Z=2 elétrons livres (divalente). Para achar a concentração atômica (átomos por \mathrm{m^3}) usamos a relação
n_{\text{átomos}}=\frac{\rho}{M_{\mathrm{mol}}}\,N_A,á
onde \rho deve estar em \mathrm{kg/m^3} e M_{\mathrm{mol}} em \mathrm{kg/mol}. Aqui:
\rho = 7,133\\ \mathrm{g/cm^3} = 7,133\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^3},
M_{\mathrm{mol}} = 65,37\\ \mathrm{g/mol} = 0,06537\\ \mathrm{kg/mol}.
Cálculo passo a passo:
\frac{\rho}{M_{\mathrm{mol}}}=\frac{7,133\times10^{3}}{0,06537}\\ \mathrm{mol/m^3}\approx 1,09118\times10^{5}\\ \mathrm{mol/m^3}.
Multiplicando por N_A:
n_{\text{átomos}} \approx 1,09118\times10^{5}\times 6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{m^{-3}}\approx 6,571\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.á
Como cada átomo dá Z=2 elétrons livres, a concentração de elétrons é
n=Z\,n_{\text{átomos}}=2\times 6,571\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}\approx 1,314\times10^{29}\\ \mathrm{m^{-3}}.á
Comentário: esse procedimento é muito usado em sólidos simples — massa volumétrica dá mols por volume, multiplicando por N_A obtemos átomos por volume.

Passo 3

Energia de Fermi E_F: teoria e fórmula
Explicação física curta: para elétrons livres em um metal (modelo de elétrons livres) a máxima energia ocupada a T=0 é a energia de Fermi. Para um gás livre de elétrons tridimensional,
E_F=\frac{\hbar^2}{2m_e}\,k_F^2,
onde o vetor de Fermi k_F é dado por
k_F=(3\pi^2 n)^{1/3}.
Aqui n é a concentração de elétrons que já calculamos, \hbar é a constante reduzida e m_e a massa do elétron.
Cálculo numérico passo a passo:
Primeiro calculemos 3\pi^2 n:
3\pi^2\approx 29,6088,\qquad 3\pi^2 n \approx 29,6088\times 1,314\times10^{29}\approx 3,891\times10^{30}.
Agora k_F=(3\pi^2 n)^{1/3}:
k_F \approx (3,891\times10^{30})^{1/3}\approx 1,56\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Agora E_F:
E_F=\frac{\hbar^2 k_F^2}{2m_e}.
Calculemos \hbar^2/(2m_e):
\frac{\hbar^2}{2m_e}=\frac{(1,054571817\times10^{-34})^2}{2\times 9,10938356\times10^{-31}}\\ \mathrm{J\cdot m^2}\approx 6,104\times10^{-39}\\ \mathrm{J\cdot m^2}.
Multiplicando por k_F^2 ( k_F^2\approx (1,56\times10^{10})^2\approx 2,4336\times10^{20}\\ \mathrm{m^{-2}}):
E_F \approx 6,104\times10^{-39}\times 2,4336\times10^{20}\\ \mathrm{J}\approx 1,49\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Converter para elétron‑volt (1 eV =1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}):
E_F \approx \frac{1,49\times10^{-18}}{1,602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx 9,29\\ \mathrm{eV}.
Resumo: energia de Fermi calculada é cerca de 1,49\times10^{-18}\\ \mathrm{J} (ou 9,29\\ \mathrm{eV}).

Passo 4

Velocidade de Fermi v_F: definição e cálculo
Fórmula: a velocidade de Fermi é a velocidade correspondente à energia de Fermi para elétrons livres,
v_F=\frac{\hbar k_F}{m_e}.
Significado: v_F é a velocidade típica dos elétrons ocupando os estados próximos ao nível de Fermi; aparece em propriedades de transporte.
Cálculo numérico:
Usando k_F\approx 1,56\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}},
v_F=\frac{1,054571817\times10^{-34}\times 1,56\times10^{10}}{9,10938356\times10^{-31}}\\ \mathrm{m/s}.
Calcule o numerador: 1,05457\times10^{-34}\times1,56\times10^{10}\approx 1,645\times10^{-24}.
Dividindo por m_e:
v_F\approx \frac{1,645\times10^{-24}}{9,109\times10^{-31}}\\ \mathrm{m/s}\approx 1,81\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: v_F é da ordem de 10^6\\ \mathrm{m/s} — elétrons nos metais se movem muito rápido, apesar das correntes macroscópicas serem pequenas devido a muitos espalhamentos.

Passo 5

Temperatura de Fermi T_F: definição e cálculo
Definição: temperatura de Fermi é a temperatura correspondente à energia de Fermi via a constante de Boltzmann,
T_F=\frac{E_F}{k_B}.
Isso dá uma escala de temperatura acima da qual efeitos térmicos começam a competir com a energia quântica de Fermi.
Cálculo numérico:
T_F=\frac{1,49\times10^{-18}\\ \mathrm{J}}{1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}}\approx 1,08\times10^{5}\\ \mathrm{K}.
Comentário: temperaturas de Fermi em metais são da ordem de 10^4 10^5\\ \mathrm{K}, muito maiores que temperaturas ambiente; por isso à temperatura ambiente o gás eletrônico é degrau Fermi muito “frio” e as propriedades são dominadas por estados perto de E_F.

Passo 6

Energia média dos elétrons em T=0\\ \mathrm{K}
Teoria e fórmula: para um gás de Fermi livre tridimensional a energia média por elétron (energia interna total dividida pelo número de elétrons) a T=0 é
\langle E\rangle = \frac{3}{5}E_F.
Isto vem da integração da densidade de estados ocupada até E_F.
Cálculo numérico:
\langle E\rangle = \frac{3}{5}\times 1,49\times10^{-18}\\ \mathrm{J}\approx 8,94\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Em eV:
\langle E\rangle \approx \frac{8,94\times10^{-19}}{1,602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx 5,58\\ \mathrm{eV}.
Comentário final: essa é a energia média por elétron a T=0; note que é menor que E_F (pois 3/5<1).

Resposta

(a) n\approx 1,31\times10^{29}\\ \mathrm{m^{-3}}
(b) E_F\approx 1,49\times10^{-18}\\ \mathrm{J}\approx 9,29\\ \mathrm{eV}
(c) v_F\approx 1,81\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}
(d) T_F\approx 1,08\times10^{5}\\ \mathrm{K}
(e) \langle E\rangle_{T=0}=\tfrac{3}{5}E_F\approx 8,94\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx 5,58\\ \mathrm{eV}

Exercícios relacionados