Os comprimentos de peças produzidas por determinada máquina têm distribuição normal com uma média de 172 mm e desvio padrão de 5 mm . Calcule a probabilidade de uma amostra aleatória simples de 16 peças ter comprimento médio:
maior que 178 mm ;

Passo 1

Então, o enunciado diz que os comprimentos de peças saem de uma distribuição Normal com média μ = 172 mm e desvio padrão σ = 5 mm. A gente sorteia uma amostra aleatória simples de n = 16 peças e quer saber a probabilidade de a média amostral bar X ser maior que 178 mm.
Conteúdo da matéria: distribuição normal e distribuição amostral da média. Vamos usar o fato de que, se Xisim N(mu,sigma^2) independentes, então
bar Xsim Nl(mu,tfracsigma^2nr)
e calcular a probabilidade via padronização (variável Z).

Passo 2

Primeiro, vamos achar a média e o desvio padrão da distribuição de bar X.
  • A média é igual à média da população: E[bar X]=mu=172 mm
    - O desvio padrão de bar X é
    sigmabar X=sigmaraiz n = 5raiz16 = 54 = 1,25 mm
Isso vem da propriedade de variância de soma de variáveis independentes e da definição de média amostral.

Passo 3

Agora a gente quer
Pl(bar X > 178r)
Para usar a tabela normal, padronizamos:
Z = bar X - musigmabar X = bar X - 1721,25
Então
P(bar X>178) = Pl(Z > 178-1721,25r) = Pl(Z > 4,8r)

Passo 4

Precisamos da probabilidade de Z (que é N(0,1)) ultrapassar 4,8. Na tabela da normal padrão, valores acima de 3,5 já são quase zero. Para Z=4,8, a cauda é tão pequena que a tabela costuma arredondar para zero, mas se você usar uma calculadora ou tabela bem detalhada:
P(Z>4,8)approx 8,2times10^-7

Resposta

A probabilidade de a média das 16 peças ser maior que 178 mm é aproximadamente
P(bar X>178)approx 8,2times10^-7(praticamente zero)

Exercícios relacionados