Definimos a variável e=barX-mu como sendo o erro amostral da média. Suponha que a variância dos salários de uma certa regiāo seja 400 reais ^2.
a) Determine a média e a variância de e.
b) Que proporção das amostras de tamanho 25 terão erro amostral absoluto maior do que 2 reais?
c) E qual a proporção de amostras de tamanho 100 ?
d) Nesse último caso, qual o valor de d, tal que P(|e|>d)=1 % ?
e) Qual deve ser o tamanho da amostra para que 95 % dos erros amostrais absolutos sejam inferiores a um real?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável de erro amostral
e = bar X - mu
onde a variância populacional dos salários é .
Conteúdo: distribuição da média amostral (propriedades de esperança e variância) e uso da Normal (por CLT ou hipótese de normalidade).
O que vamos precisar:
  • Propriedades de e .
  • Saber que tem média e variância .
  • Tabela (ou quantis) da Normal padrão.

Passo 2

Parte (a):
  1. Esperança de :
  2. Variância de :

Passo 3

Parte (b), Pl(|e|>2r) =2l[1-Phil(tfrac24r)r] =2l[1-Phi(0.5)r] :
  • A distribuição de P(|e|>2)approx2(1-0.6915)=2cdot0.3085=0.6170 é aproximadamente Normal com
    ,
    logo .
  • Queremos
  • Da tabela, , então

Passo 4

Parte ©, P(|e|>2) =2l[1-Phi(tfrac22)r] =2l[1-Phi(1)r] =2(1-0.8413)=2cdot0.1587=0.3174 :
  • Agora .
  • Então

Passo 5

Parte (d), ainda P(|e|>d)=0.01 :
Queremos achar Pl(|Z|>d/2r)=0.01 ;Longrightarrow; d/2 = z0.995approx2.5758 tal que
d = 2times2.5758 approx 5.1516
No caso Normal padrão temos
Logo

Passo 6

Parte (e): desejar
Pl(|e|<1r)=0.95 ;Longrightarrow; Pl(|Z|
Como k = 120/raiz n = raiz n20 , temos raiz n20 = 1.96 ;Longrightarrow; raiz n = 1.96times20 = 39.2 ;Longrightarrow; n = (39.2)^2 approx1536.64 . Seja
Para 95% centrado na Normal, .
Então
Arredondando para cima, .

Resposta

a)
b) Para , .
c) Para , .
d) Para , tal que
e) para que dos erros absolutos fiquem abaixo de real.

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