No exercício anterior, depois de regulada a máquina, prepara-se uma carta de controle de qualidade. Uma amostra de 4 pacotes scrá sort cada a cada hora. Se a média da amostra for inferior a 497 g ou superior a 520 g , a produção deve ser interrompida para ajuste da máquina, isto é, ajuste do peso médio.
a) Qual é a probabilidade de uma parada desnecessária?
b) Supondo que a máquina tenha se desregulado, passando a operar com um peso médio verdadeiro
, qual seria a probabilidade de o sistema não detectar essa alteraçāo, permitindo que a produçảo continue fora dos padròes de qualidade estabelecidos?
a) Qual é a probabilidade de uma parada desnecessária?
b) Supondo que a máquina tenha se desregulado, passando a operar com um peso médio verdadeiro
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a cada hora a gente tira uma amostra de n=4 pacotes e, se a média dessa amostra for menor que 497 g ou maior que 520 g, a produção para “à toa” para regular a máquina.
Conteúdo: carta de controle (controle estatístico de qualidade), distribuição da média amostral e cálculo de probabilidades usando Normal.
O que precisamos:
Conteúdo: carta de controle (controle estatístico de qualidade), distribuição da média amostral e cálculo de probabilidades usando Normal.
O que precisamos:
- Média verdadeira quando a máquina está regulada (vamos chamar de μ₀).
- Desvio padrão do processo σ (da amostra original).
- Saber que a média amostral X̄ tem distribuição Normal(μ, σ/√n).
- Tabelas ou função Φ da Normal padrão.
Para fechar, vamos assumir (como costuma ser no exercício anterior) que σ=8 g e que a máquina regulada trabalha com μ₀ = (497+520)/2 = 508,5 g. Assim σ_{X̄} = σ/√4 = 8/2 = 4 g.
Passo 2
Calcular a probabilidade de parada desnecessária (erro tipo I):
Quando a máquina está regulada, X̄ ∼ N(μ₀=508.5; σ_{X̄}=4).
A gente quer
P(X̄<497 ou X̄>520)
= P\bigl(Z < (497−508.5)/4\bigr) + P\bigl(Z > (520−508.5)/4\bigr),
onde Z∼N(0,1).
Quando a máquina está regulada, X̄ ∼ N(μ₀=508.5; σ_{X̄}=4).
A gente quer
P(X̄<497 ou X̄>520)
= P\bigl(Z < (497−508.5)/4\bigr) + P\bigl(Z > (520−508.5)/4\bigr),
onde Z∼N(0,1).
- (497−508.5)/4 = −11.5/4 = −2.875
- (520−508.5)/4 = +11.5/4 = +2.875
Então
P(parada inútil) = Φ(−2.875) + [1−Φ(2.875)]
Mas Φ(−2.875)=1−Φ(2.875), logo fica
2·[1 − Φ(2.875)].
Passo 3
Olha na tabela da Normal padrão:
Φ(2.875) ≈ 0.99799
Logo
P(parada inútil) ≈ 2·(1 − 0.99799) = 2·0.00201 = 0.00402
Φ(2.875) ≈ 0.99799
Logo
P(parada inútil) ≈ 2·(1 − 0.99799) = 2·0.00201 = 0.00402
Passo 4
Agora a parte (b): a máquina desregula para μ=500 g (σ_{X̄}=4 continua).
Queremos a probabilidade de não detectar essa mudança, ou seja
P(497 < X̄ < 520 | μ=500)
= Φ\bigl((520−500)/4\bigr) − Φ\bigl((497−500)/4\bigr).
Queremos a probabilidade de não detectar essa mudança, ou seja
P(497 < X̄ < 520 | μ=500)
= Φ\bigl((520−500)/4\bigr) − Φ\bigl((497−500)/4\bigr).
- (520−500)/4 = 20/4 = 5
- (497−500)/4 = −3/4 = −0.75
Então
P(não detectar) = Φ(5) − Φ(−0.75).
Passo 5
Usando tabela:
Φ(5) ≈ 1 (praticamente 0.9999997)
Φ(−0.75) = 1 − Φ(0.75) ≈ 1 − 0.77337 = 0.22663
Logo
P(não detectar) ≈ 1 − 0.22663 = 0.77337
Φ(5) ≈ 1 (praticamente 0.9999997)
Φ(−0.75) = 1 − Φ(0.75) ≈ 1 − 0.77337 = 0.22663
Logo
P(não detectar) ≈ 1 − 0.22663 = 0.77337
Resposta
a) A probabilidade de parada desnecessária é aproximadamente 0.00402 (0,402%).
b) A probabilidade de não detectar a desregulação para μ=500 g é aproximadamente 0.7734 (77,34%).
b) A probabilidade de não detectar a desregulação para μ=500 g é aproximadamente 0.7734 (77,34%).