Comprovar cada uma das seguintes regras de derivação para funções matriciais, supondo que P e Q são deriváveis. Em c) e d), Q se supõe não singular.
(Q^-1)^prime=-Q^-1 Q^prime Q^-1.

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula da derivada da matriz inversa, ou seja, mostrar que, para Q invertível e derivável,
l(Q^-1r)' ;=;-,Q^-1,Q',Q^-1
Vamos usar o fato de que Q,Q^-1=I e a regra do produto de derivadas para matrizes.

Passo 2

Começamos de
Q,Q^-1=I
Como I é a matriz identidade (constante), sua derivada é zero:
l(Q,Q^-1r)' = 0

Passo 3

Pela regra do produto para matrizes,
l(Q,Q^-1r)' = Q',Q^-1 ;+; Q,l(Q^-1r)'
Portanto
Q',Q^-1 ;+; Q,l(Q^-1r)' = 0

Passo 4

Para isolar l(Q^-1r)', multiplicamos à esquerda por Q^-1:
Q^-1,Q',Q^-1 ;+; Q^-1,Q,l(Q^-1r)' = 0
Como Q^-1Q=I, isso fica
Q^-1,Q',Q^-1 ;+;l(Q^-1r)' = 0 Longrightarrow l(Q^-1r)' = -,Q^-1,Q',Q^-1

Resposta

l(Q^-1r)' = -,Q^-1,Q',Q^-1

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