Comprove que as hipóteses do teorema do valor médio são satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Então, encontre todos os números
que satisfazem a conclusão do teorema do valor médio.
(b)
(b)
Passo 1
Nessa questão a gente quer provar que as hipóteses do teorema do valor médio se aplicam para a função
em
, ou seja, mostrar que
é contínua em
e diferenciável em
. Depois, a gente vai achar o ponto
que satisfaz a igualdade do teorema.
Passo 2
Para aplicar o teorema, precisamos que
seja contínua em
. Observamos que a função potência
e a raiz cúbica
são contínuas em todo
. Como
, trata-se da composição de funções contínuas, logo
é contínua em
.
Passo 3
Também precisamos que
seja diferenciável em
. Usando a regra da potência, para
temos
. Essa expressão existe para todo
, embora em
a derivada não exista. Assim,
é diferenciável em
.
Passo 4
O teorema do valor médio garante que existe
tal que
Calculamos a razão de coeficientes:
Então igualamos à derivada e resolvemos: