Comprove que as hipóteses do teorema do valor médio são satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Então, encontre todos os números c que satisfazem a conclusão do teorema do valor médio.
(b) f(x)=x^2 / 3,[0,1]

Passo 1

Nessa questão a gente quer provar que as hipóteses do teorema do valor médio se aplicam para a função f(x)=x^2/3 em [0,1], ou seja, mostrar que f é contínua em [0,1] e diferenciável em (0,1). Depois, a gente vai achar o ponto c que satisfaz a igualdade do teorema.

Passo 2

Para aplicar o teorema, precisamos que f seja contínua em [0,1]. Observamos que a função potência xmapsto x^2 e a raiz cúbica xmapsto x^1/3 são contínuas em todo R. Como f(x)=(x^2)^1/3, trata-se da composição de funções contínuas, logo f é contínua em [0,1].

Passo 3

Também precisamos que f seja diferenciável em (0,1). Usando a regra da potência, para x>0 temos f'(x)=tfrac23x^-1/3. Essa expressão existe para todo xin(0,1), embora em x=0 a derivada não exista. Assim, f é diferenciável em (0,1).

Passo 4

O teorema do valor médio garante que existe cin(0,1) tal que
f'(c)=f(1)-f(0)1-0
Calculamos a razão de coeficientes:
f(1)-f(0)1-0=1^2/3-01=1
Então igualamos à derivada e resolvemos:
23c^-1/3=1
c^-1/3=32
c^1/3=23
c=l(23r)^3=827

Resposta

c=tfrac827

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