Encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.
Passo 1
A curva está em coordenadas polares:
. O conteúdo envolvido é o comprimento de arcos em coordenadas polares, para o qual precisamos usar a fórmula
e escolher o intervalo que descreve toda a curva.
Passo 2
Para aplicar a fórmula, primeiro calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Substituímos
e
dentro do radicando:
Passo 4
Extraímos o fator 9 debaixo da raiz:
Passo 5
A curva
forma uma rosa de 3 pétalas. Cada pétala é gerada quando
vai de
a
, ou seja
de
a
. Como há 3 pétalas idênticas, o comprimento total é 3 vezes o comprimento de uma pétala.
Passo 6
Juntando tudo, o comprimento total fica:
e podemos simplificar o 3 externo com o 3 interno: