Encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.
r=3 sen 3 theta

Passo 1

A curva está em coordenadas polares: r=3sin3theta. O conteúdo envolvido é o comprimento de arcos em coordenadas polares, para o qual precisamos usar a fórmula
L=integraltheta1^theta2raizr^2+(r')^2,dtheta
e escolher o intervalo que descreve toda a curva.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, primeiro calculamos a derivada de r em relação a theta:
r(theta)=3sin3theta
r'(theta)=ddtheta(3sin3theta)=3cdot3cos3theta=9cos3theta

Passo 3

Substituímos r e r' dentro do radicando:
r^2+(r')^2=(3sin3theta)^2+(9cos3theta)^2=9sin^2 3theta+81cos^2 3theta=9l(sin^2 3theta+9cos^2 3thetar)

Passo 4

Extraímos o fator 9 debaixo da raiz:
raizr^2+(r')^2=raiz9l(sin^2 3theta+9cos^2 3thetar)=3raizsin^2 3theta+9cos^2 3theta

Passo 5

A curva r=3sin3theta forma uma rosa de 3 pétalas. Cada pétala é gerada quando 3theta vai de 0 a pi, ou seja theta de 0 a pi/3. Como há 3 pétalas idênticas, o comprimento total é 3 vezes o comprimento de uma pétala.

Passo 6

Juntando tudo, o comprimento total fica:
L=3integral0^pi/33raizsin^2 3theta+9cos^2 3theta,dtheta
e podemos simplificar o 3 externo com o 3 interno:

Resposta

L=9integral0^pi/3raizsin^2 3theta+9cos^2 3theta,dtheta

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