Encontre as derivadas primeira e segunda da função dada.
(f) h(x)=4 cos x^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de h(x)=4 cos(x²). O conteúdo aqui é Regra da Cadeia para derivar funções compostas e Regra do Produto para a segunda derivada. Vamos usar f(u)=cos u e u(x)=x².

Passo 2

Para obter h′(x), aplicamos a Regra da Cadeia: escrevemos h(x)=4·f(u(x)) com f(u)=cos u e u(x)=x². Sabemos que f′(u)=-sin u e u′(x)=2x. Logo, usando h′(x)=4·f′(u(x))·u′(x), temos
h'(x)=4cdotl(-sin(x^2)r)cdot(2x)=-8xsin(x^2)

Passo 3

Para obter h″(x), derivamos h′(x)=-8x sin(x²) usando Regra do Produto entre u(x)=-8x e v(x)=sin(x²). Calculamos u′(x)=-8 e v′(x)=cos(x²)·2x. Assim,
h''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=-8sin(x^2)+(-8x)cdot(2xcos(x^2))

Passo 4

Agora simplificamos a expressão de h″(x):
h''(x)=-8sin(x^2)-16x^2cos(x^2)

Resposta

h’(x) = -8x\sin(x^2), h’’(x) = -8\sin(x^2) - 16x2\cos(x2)

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