Encontre as derivadas primeira e segunda da função dada.
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de h(x)=4 cos(x²). O conteúdo aqui é Regra da Cadeia para derivar funções compostas e Regra do Produto para a segunda derivada. Vamos usar f(u)=cos u e u(x)=x².
Passo 2
Para obter h′(x), aplicamos a Regra da Cadeia: escrevemos h(x)=4·f(u(x)) com f(u)=cos u e u(x)=x². Sabemos que f′(u)=-sin u e u′(x)=2x. Logo, usando h′(x)=4·f′(u(x))·u′(x), temos
Passo 3
Para obter h″(x), derivamos h′(x)=-8x sin(x²) usando Regra do Produto entre u(x)=-8x e v(x)=sin(x²). Calculamos u′(x)=-8 e v′(x)=cos(x²)·2x. Assim,
Passo 4
Agora simplificamos a expressão de h″(x):
Resposta
h’(x) = -8x\sin(x^2), h’’(x) = -8\sin(x^2) - 16x2\cos(x2)