Use o Teorema de Stokes para calcular a integral \iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d S
\vec{F}(x, y, z)=3 z \overrightarrow{\mathbf{i}}+4 x \overrightarrow{\mathbf{j}}+2 y \overrightarrow{\mathbf{k}}, S é o hemisfério superior z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}, z \geq 0, com orientação para cima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \operatorname{rot}\vec{F}\cdot dS
onde \vec{F}(x,y,z)=3z\,\overrightarrow{\mathbf{i}}+4x\,\overrightarrow{\mathbf{j}}+2y\,\overrightarrow{\mathbf{k}} e S é o hemisfério superior da esfera de raio 1, dado por z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}, z\ge 0, com orientação para cima.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície S é o hemisfério superior unitário, borda sendo o círculo unitário no plano z=0: \{(x,y,0)\mid x^{2}+y^{2}=1\}.
  • A orientação pedida para S é “para cima” (vetor normal com componente z positiva).
  • A integral envolve \operatorname{rot}\vec{F} (o rotor / curl de \vec{F}) e o produto escalar com o elemento de superfície orientado dS.

Passo 2

Apresentação do Teorema de Stokes e como ele nos ajuda (aula curta e prática).\n
O Teorema de Stokes diz, de forma prática:
\iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}=\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r},
onde:
  • S é uma superfície orientada com um vetor normal escolhido,
  • C=\partial S é a fronteira (borda) de S, orientada segundo a regra da mão direita compatível com a orientação de S,
  • d\vec{S}=\vec{n}\,dS é o elemento vetorial de área (com \vec{n} unidade normal apontando na orientação escolhida),
  • d\vec{r} é o elemento de arco na curva C.\n
    Ou seja: em vez de integrar o rotor sobre a superfície, podemos integrar o campo \vec{F} ao longo da curva de contorno C. Isso costuma simplificar muito quando C tem uma parametrização simples (como um círculo).

Passo 3

Calcular o rotor \nabla\times\vec{F} (explicando como se calcula).\n
O rotor de um campo vetorial \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) é dado por
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\;\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\;\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right).
Aqui F_1=3z, F_2=4x, F_3=2y. Calculamos cada componente:\n
  • Primeira componente:
\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} =\frac{\partial (2y)}{\partial y}-\frac{\partial (4x)}{\partial z}=2-0=2.
  • Segunda componente:
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} =\frac{\partial (3z)}{\partial z}-\frac{\partial (2y)}{\partial x}=3-0=3.
  • Terceira componente:
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} =\frac{\partial (4x)}{\partial x}-\frac{\partial (3z)}{\partial y}=4-0=4.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=(2,3,4),
um vetor constante. (Observação: saber que o rotor é constante facilita verificar métodos alternativos.)

Passo 4

Decidir usar o Teorema de Stokes e identificar a curva de contorno C e sua orientação.\n
  • Pelo Teorema de Stokes, \iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}=\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
  • A curva C=\partial S é o círculo unitário no plano z=0:
C:\;x^{2}+y^{2}=1,\quad z=0.
  • A orientação de S é “para cima” (vetor normal com z>0). Pela regra da mão direita, isso corresponde a percorrer o contorno C no sentido anti-horário quando visto de cima (isto é, sentido trigonométrico padrão). Então usamos uma parametrização com t aumentando de 0 a 2\pi que dá sentido anti-horário.

Passo 5

Parametrizar a curva C, avaliar \vec{F} sobre C e calcular d\vec{r}.\n
Parametrização natural do círculo unitário (anti-horário):
\vec{r}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;0),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Então
d\vec{r}=\vec{r}\,'(t)\,dt=(-\sin t,\;\cos t,\;0)\,dt.
Avaliar \vec{F} na curva C: para z=0,
\vec{F}(\cos t,\sin t,0)=\big(3\cdot 0,\;4\cos t,\;2\sin t\big)=(0,\;4\cos t,\;2\sin t).

Passo 6

Montar e calcular a integral de linha \displaystyle\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.\n
O produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r} ao longo da parametrização é
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) =(0,\;4\cos t,\;2\sin t)\cdot(-\sin t,\;\cos t,\;0).
Calcule termo a termo:
(0)(-\sin t)+(4\cos t)(\cos t)+(2\sin t)(0)=4\cos^{2}t.
Portanto a integral de linha é
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2\pi}4\cos^{2}t\,dt.
Usamos a identidade \cos^{2}t=\tfrac{1+\cos(2t)}{2}. Então
\int_{0}^{2\pi}4\cos^{2}t\,dt =4\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt =2\int_{0}^{2\pi}\left(1+\cos(2t)\right)\,dt.
Integrando:
2\left[\;t+\frac{\sin(2t)}{2}\;\right]_{0}^{2\pi} =2\big(2\pi+0-0-0\big)=4\pi.
Portanto pelo Teorema de Stokes a integral de superfície vale 4\pi.

Passo 7

Checagem alternativa (opcional, para entender melhor): computação direta usando \nabla\times\vec{F} constante.\n
Como \nabla\times\vec{F}=(2,3,4) é constante, podemos escrever
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}=(2,3,4)\cdot\iint_{S}\vec{n}\,dS.
Para a superfície do hemisfério unitário com normal unitário apontando para cima, por simetria \iint_{S}x\,dS=\iint_{S}y\,dS=0 e
\iint_{S}z\,dS=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\cdot(\sin\varphi)\,d\varphi\,d\theta=\pi,
onde usamos coordenadas esféricas ( z=\cos\varphi,\\ dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta). Isso dá
(2,3,4)\cdot(0,0,\pi)=4\pi,
confirmando o resultado da integral de linha.

Resposta

4\pi

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