Use o Teorema de Stokes para calcular a integral
é o hemisfério superior
, com orientação para cima.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
e
é o hemisfério superior da esfera de raio
, dado por
,
, com orientação para cima.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A superfície
é o hemisfério superior unitário, borda sendo o círculo unitário no plano : . - A orientação pedida para
é “para cima” (vetor normal com componente positiva). - A integral envolve
(o rotor / curl de ) e o produto escalar com o elemento de superfície orientado .
Passo 2
Apresentação do Teorema de Stokes e como ele nos ajuda (aula curta e prática).\n
O Teorema de Stokes diz, de forma prática:
O Teorema de Stokes diz, de forma prática:
onde:
-
é uma superfície orientada com um vetor normal escolhido, -
é a fronteira (borda) de , orientada segundo a regra da mão direita compatível com a orientação de , -
é o elemento vetorial de área (com unidade normal apontando na orientação escolhida), -
é o elemento de arco na curva .\n
Ou seja: em vez de integrar o rotor sobre a superfície, podemos integrar o campoao longo da curva de contorno . Isso costuma simplificar muito quando tem uma parametrização simples (como um círculo).
Passo 3
Calcular o rotor
(explicando como se calcula).\n
O rotor de um campo vetorial é dado por
O rotor de um campo vetorial
Aqui
,
,
. Calculamos cada componente:\n
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto
um vetor constante. (Observação: saber que o rotor é constante facilita verificar métodos alternativos.)
Passo 4
Decidir usar o Teorema de Stokes e identificar a curva de contorno
e sua orientação.\n
- Pelo Teorema de Stokes,
. - A curva
é o círculo unitário no plano :
- A orientação de
é “para cima” (vetor normal com ). Pela regra da mão direita, isso corresponde a percorrer o contorno no sentido anti-horário quando visto de cima (isto é, sentido trigonométrico padrão). Então usamos uma parametrização com aumentando de a que dá sentido anti-horário.
Passo 5
Parametrizar a curva
, avaliar
sobre
e calcular
.\n
Parametrização natural do círculo unitário (anti-horário):
Parametrização natural do círculo unitário (anti-horário):
Então
Avaliar
na curva
: para
,
Passo 6
Montar e calcular a integral de linha
.\n
O produto escalar ao longo da parametrização é
O produto escalar
Calcule termo a termo:
Portanto a integral de linha é
Usamos a identidade
. Então
Integrando:
Portanto pelo Teorema de Stokes a integral de superfície vale
.
Passo 7
Checagem alternativa (opcional, para entender melhor): computação direta usando
constante.\n
Como é constante, podemos escrever
Como
Para a superfície do hemisfério unitário com normal unitário apontando para cima, por simetria
e
onde usamos coordenadas esféricas (
). Isso dá
confirmando o resultado da integral de linha.