Use o Teorema de Stokes para calcular a integral \iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d S
\vec{F}(x, y, z)=x y^{2} \overrightarrow{\mathbf{i}}+x \overrightarrow{\mathbf{j}}+z^{3} \overrightarrow{\mathbf{k}}, S é qualquer superfície suave delimitada pela curva \vec{r}(t)=2 \cos t \overrightarrow{\mathbf{i}}+ 3 \operatorname{sen} t \overrightarrow{\mathbf{j}}+1 \overrightarrow{\mathbf{k}}, 0 \leq t \leq 2 \pi, positivamente orientada em relação a S.

Passo 1

O enunciado fornece:
\vec{F}(x,y,z)=x y^{2}\,\overrightarrow{\mathbf{i}}+x\,\overrightarrow{\mathbf{j}}+z^{3}\,\overrightarrow{\mathbf{k}}
e a curva que delimita a superfície S:
\vec{r}(t)=2\cos t\,\overrightarrow{\mathbf{i}}+3\sin t\,\overrightarrow{\mathbf{j}}+1\,\overrightarrow{\mathbf{k}},\qquad 0\le t\le 2\pi,
com orientação positiva em relação a S.
A pergunta é: calcular a integral de superfície
\iint_{S}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot dS.
Informações relevantes dadas:
  • A função vetorial \vec{F} (componentes em x,y,z) está totalmente determinada.
  • A curva fechada \partial S que limita S está parametrizada por \vec{r}(t).
  • A curva tem orientação positiva em relação à superfície S.

Passo 2

Vou usar o Teorema de Stokes. Vou primeiro escrever o teorema e explicar o que cada coisa significa.
O Teorema de Stokes diz:
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot \mathbf{n}\,dS \;=\; \oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r},
onde:
  • \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F};
  • S é uma superfície orientada com vetor normal unitário \mathbf{n};
  • dS é o elemento de área da superfície;
  • \partial S é a curva limite de S, orientada positivamente segundo a regra da mão direita;
  • d\vec{r} é o vetor tangente infinitesimal ao longo da curva \partial S.
Na prática: a integral de superfície do rotacional sobre S é igual à integral de linha de \vec{F} ao longo da curva fechada que delimita S. Como a curva \vec{r}(t) foi dada e tem orientação positiva em relação a S, é conveniente avaliar a integral de linha parametrizada por t de 0 a 2\pi.

Passo 3

Aplicando Stokes para trocar a integral de superfície pela integral de linha, temos:
\iint_{S}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot dS \;=\; \oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Portanto vou calcular \displaystyle \oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r} usando a parametrização \vec{r}(t) dada.

Passo 4

A parametrização da curva é
\vec{r}(t)=\big(2\cos t,\;3\sin t,\;1\big),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Derivando componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=\big(-2\sin t,\;3\cos t,\;0\big).
O elemento de linha é d\vec{r}=\vec{r}\,'(t)\,dt.

Passo 5

Avalio \vec{F} ao longo da curva, isto é, substituo x=2\cos t, y=3\sin t, z=1 em \vec{F}:
\vec{F}(\vec{r}(t))=\big(xy^{2},\;x,\;z^{3}\big) =\Big( (2\cos t)\big(3\sin t\big)^{2},\;2\cos t,\;1^{3}\Big).
Calculo a componente xy^{2}:
xy^{2}=(2\cos t)\cdot(3\sin t)^{2}=(2\cos t)\cdot 9\sin^{2}t=18\cos t\,\sin^{2}t.
Logo
\vec{F}(\vec{r}(t))=\big(18\cos t\,\sin^{2}t,\;2\cos t,\;1\big).

Passo 6

Agora calculo o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t):
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) = \big(18\cos t\,\sin^{2}t\big)\cdot(-2\sin t) + \big(2\cos t\big)\cdot(3\cos t) + 1\cdot 0.
Faço cada termo:
\big(18\cos t\,\sin^{2}t\big)(-2\sin t) = -36\cos t\,\sin^{3}t,
\big(2\cos t\big)(3\cos t)=6\cos^{2}t.
Portanto o integrando é
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) = -36\cos t\,\sin^{3}t + 6\cos^{2}t.

Passo 7

A integral de linha é
\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{0}^{2\pi}\big(-36\cos t\,\sin^{3}t + 6\cos^{2}t\big)\,dt.
Vou calcular cada parcela separadamente.
  1. Para \displaystyle \int_{0}^{2\pi}-36\cos t\,\sin^{3}t\,dt, uso a substituição u=\sin t, então du=\cos t\,dt. Os limites: t=0\mapsto u=0, t=2\pi\mapsto u=0. Assim
\int_{0}^{2\pi}\cos t\,\sin^{3}t\,dt = \int_{u=0}^{u=0} u^{3}\,du = 0.
Portanto essa parcela vale 0, e assim
\int_{0}^{2\pi}-36\cos t\,\sin^{3}t\,dt = -36\cdot 0 = 0.
  1. Para \displaystyle \int_{0}^{2\pi}6\cos^{2}t\,dt, uso a identidade \cos^{2}t=\tfrac{1+\cos(2t)}{2}. Então
\int_{0}^{2\pi}6\cos^{2}t\,dt = 6\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt =3\int_{0}^{2\pi}\big(1+\cos(2t)\big)\,dt.
A integral de \cos(2t) num período inteiro é zero, assim
3\int_{0}^{2\pi}1\,dt = 3\cdot(2\pi)=6\pi.
Somando as duas parcelas obtemos
\int_{0}^{2\pi}\big(-36\cos t\,\sin^{3}t + 6\cos^{2}t\big)\,dt = 0 + 6\pi = 6\pi.

Passo 8

Conclusão: pela igualdade de Stokes, a integral de superfície pedida é igual à integral de linha que calculamos, logo
\iint_{S}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot dS = 6\pi.

Resposta

\;6\pi\;

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