Use o Teorema de Stokes para calcular a integral
é qualquer superfície suave delimitada pela curva
, positivamente orientada em relação a
.
Passo 1
O enunciado fornece:
e a curva que delimita a superfície
:
com orientação positiva em relação a
.
A pergunta é: calcular a integral de superfície
Informações relevantes dadas:
- A função vetorial
(componentes em ) está totalmente determinada. - A curva fechada
que limita está parametrizada por . - A curva tem orientação positiva em relação à superfície
.
Passo 2
Vou usar o Teorema de Stokes. Vou primeiro escrever o teorema e explicar o que cada coisa significa.
O Teorema de Stokes diz:
onde:
-
é o rotacional (curl) de ; -
é uma superfície orientada com vetor normal unitário ; -
é o elemento de área da superfície; -
é a curva limite de , orientada positivamente segundo a regra da mão direita; -
é o vetor tangente infinitesimal ao longo da curva .
Na prática: a integral de superfície do rotacional sobre
é igual à integral de linha de
ao longo da curva fechada que delimita
. Como a curva
foi dada e tem orientação positiva em relação a
, é conveniente avaliar a integral de linha parametrizada por
de
a
.
Passo 3
Aplicando Stokes para trocar a integral de superfície pela integral de linha, temos:
Portanto vou calcular
usando a parametrização
dada.
Passo 4
A parametrização da curva é
Derivando componente a componente:
O elemento de linha é
.
Passo 5
Avalio
ao longo da curva, isto é, substituo
,
,
em
:
Calculo a componente
:
Logo
Passo 6
Agora calculo o produto escalar
:
Faço cada termo:
Portanto o integrando é
Passo 7
A integral de linha é
Vou calcular cada parcela separadamente.
- Para
, uso a substituição , então . Os limites: , . Assim
Portanto essa parcela vale
, e assim
- Para
, uso a identidade . Então
A integral de
num período inteiro é zero, assim
Somando as duas parcelas obtemos
Passo 8
Conclusão: pela igualdade de Stokes, a integral de superfície pedida é igual à integral de linha que calculamos, logo