Compute the line integral
\int_{C}(x+y) d s
where C is the line segment from (0,0) to (1,1).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}(x+y)\,d s.
  • A curva C é o segmento de reta que vai de (0,0) até (1,1).
  • Informação útil: o integrando é a função escalar f(x,y)=x+y e o diferencial d s é o elemento de comprimento de arco ao longo de C.

Passo 2

Qual a ideia geral (fórmula) que vamos usar:
  • Para integrar uma função escalar f(x,y) ao longo de uma curva C parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), com t variando de a até b, usa-se a fórmula
\int_{C} f(x,y)\,d s=\int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\,dt.
  • Aqui \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada vetor da parametrização e \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade escalar; d s=\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\,dt.
  • Explicando cada variável: t é o parâmetro que percorre a curva, \mathbf{r}(t) dá as coordenadas (x,y) em função de t, f(x(t),y(t)) é o integrando escrito em função de t, e \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\,dt é o pequeno comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Escolher uma parametrização prática para o segmento de reta:
  • O segmento de (0,0) a (1,1) pode ser parametrizado de forma linear por
\mathbf{r}(t)=(t,t),\qquad 0\le t\le 1.
  • Ou seja, x(t)=t e y(t)=t. Isso é a interpolação linear entre os extremos: em t=0 obtém-se (0,0) e em t=1 obtém-se (1,1).

Passo 4

Calcular \mathbf{r}'(t) e o comprimento diferencial d s:
  • Derivando a parametrização,
\mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,1).
  • A norma da velocidade é
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • Portanto d s=\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\,dt=\sqrt{2}\,dt. Observe que aqui a velocidade é constante porque o movimento ao longo do segmento é uniforme.

Passo 5

Substituir tudo na integral e simplificar:
  • O integrando em função de t é
f\big(x(t),y(t)\big)=x(t)+y(t)=t+t=2t.
  • Usando a fórmula do Passo 2 e o d s do Passo 4, obtemos
\int_{C}(x+y)\,d s=\int_{0}^{1} 2t\cdot \sqrt{2}\,dt.
  • Fatorando constantes,
\int_{0}^{1} 2t\cdot \sqrt{2}\,dt=2\sqrt{2}\int_{0}^{1} t\,dt.

Passo 6

Calcular a integral em t:
  • Integral básica:
\int_{0}^{1} t\,dt=\left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}.
  • Multiplicando pela constante:
2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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