Pede-se calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}(x+y)\,d s.
A curva C é o segmento de reta que vai de (0,0) até (1,1).
Informação útil: o integrando é a função escalar f(x,y)=x+y e o diferencial d s é o elemento de comprimento de arco ao longo de C.
Passo 2
Qual a ideia geral (fórmula) que vamos usar:
Para integrar uma função escalar f(x,y) ao longo de uma curva C parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), com t variando de a até b, usa-se a fórmula
Aqui \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada vetor da parametrização e \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade escalar; d s=\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\,dt.
Explicando cada variável: t é o parâmetro que percorre a curva, \mathbf{r}(t) dá as coordenadas (x,y) em função de t, f(x(t),y(t)) é o integrando escrito em função de t, e \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\,dt é o pequeno comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Escolher uma parametrização prática para o segmento de reta:
O segmento de (0,0) a (1,1) pode ser parametrizado de forma linear por
\mathbf{r}(t)=(t,t),\qquad 0\le t\le 1.
Ou seja, x(t)=t e y(t)=t. Isso é a interpolação linear entre os extremos: em t=0 obtém-se (0,0) e em t=1 obtém-se (1,1).
Passo 4
Calcular \mathbf{r}'(t) e o comprimento diferencial d s:
Portanto d s=\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\,dt=\sqrt{2}\,dt. Observe que aqui a velocidade é constante porque o movimento ao longo do segmento é uniforme.
Passo 5
Substituir tudo na integral e simplificar:
O integrando em função de t é
f\big(x(t),y(t)\big)=x(t)+y(t)=t+t=2t.
Usando a fórmula do Passo 2 e o d s do Passo 4, obtemos