Evaluate the double integral over the disk
using polar coordinates:
Passo 1
O enunciado pede avaliar a integral dupla sobre o disco
da função
, isto é calcular
Dados relevantes:
- A região
é o disco unitário centrado na origem: raio . - A integranda é
.
O pedido é obter o valor numérico da integral dupla.
Passo 2
Motivação para usar coordenadas polares (explicação didática):
- Em coordenadas polares definimos
e , onde é a distância até a origem e é o ângulo. - No disco unitário todos os pontos têm
e (porque é todo o círculo). - O elemento de área em coordenadas polares não é simplesmente
; é necessário o fator Jacobiano. Geometricamente, um pequeno retângulo em tem área aproximadamente , logo
Esta é a justificativa do fator
(uma interpretação simples: a largura angular
corresponde a um arco de comprimento
).
Passo 3
Converter a integranda e a região para polares:
- A integranda
em polares é
- O elemento de área vira
.
Portanto o integrando multiplicado pelo Jacobiano é
Passo 4
Montar a integral iterada com os limites apropriados:
- Como o disco unitário corresponde a
e , a integral torna-se
Nota: as variáveis separam-se porque os limites são constantes e o integrando é produto de uma função de
só pelo elemento
.
Passo 5
Calcular a integral passo a passo:
- Primeiro integrar em
:
- Agora integrar em
:
Interpretação rápida para fixar: se a integranda fosse
a integral daria a área
; como integrando é
(maior próximo ao contorno) o resultado
faz sentido como um valor maior que zero e proporcional a
.
Passo 6
Resumo final e ânimo:
- Procedimento padrão em provas: identificar a simetria, passar para polares, lembrar do fator
e integrar primeiro a parte em . Dá para fazer de cabeça sem calculadora. - Você já tem o resultado exato e pronto para anotar na prova — tranquilo, foi direto e seguro!