Evaluate the double integral over the disk
D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}
using polar coordinates:
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A

Passo 1

O enunciado pede avaliar a integral dupla sobre o disco
D=\{(x,y): x^{2}+y^{2}\le 1\}
da função \,x^{2}+y^{2}\,, isto é calcular
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA.
Dados relevantes:
  • A região D é o disco unitário centrado na origem: raio 1.
  • A integranda é \,x^{2}+y^{2}\,.
    O pedido é obter o valor numérico da integral dupla.

Passo 2

Motivação para usar coordenadas polares (explicação didática):
  • Em coordenadas polares definimos \,x=r\cos\theta e \,y=r\sin\theta, onde \,r\ge0 é a distância até a origem e \,\theta é o ângulo.
  • No disco unitário todos os pontos têm 0\le r\le 1 e \,0\le\theta\le 2\pi (porque é todo o círculo).
  • O elemento de área em coordenadas polares não é simplesmente dr\,d\theta; é necessário o fator Jacobiano. Geometricamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximadamente (dr)\times(r\,d\theta), logo
dA = r\,dr\,d\theta.
Esta é a justificativa do fator r (uma interpretação simples: a largura angular d\theta corresponde a um arco de comprimento r\,d\theta).

Passo 3

Converter a integranda e a região para polares:
  • A integranda \,x^{2}+y^{2}\, em polares é
x^{2}+y^{2} = (r\cos\theta)^{2} + (r\sin\theta)^{2} = r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r^{2}.
  • O elemento de área vira \,dA = r\,dr\,d\theta.
    Portanto o integrando multiplicado pelo Jacobiano é
(x^{2}+y^{2})\,dA = r^{2}\cdot (r\,dr\,d\theta) = r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Montar a integral iterada com os limites apropriados:
  • Como o disco unitário corresponde a 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi, a integral torna-se
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA \;=\; \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} r^{3}\,dr\,d\theta.
Nota: as variáveis separam-se porque os limites são constantes e o integrando é produto de uma função de r só pelo elemento d\theta.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo:
  • Primeiro integrar em r:
\int_{r=0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
  • Agora integrar em \theta:
\int_{\theta=0}^{2\pi} \frac{1}{4}\,d\theta = \frac{1}{4}\left[\theta\right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{4}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}.
Interpretação rápida para fixar: se a integranda fosse 1 a integral daria a área \pi; como integrando é r^{2} (maior próximo ao contorno) o resultado \frac{\pi}{2} faz sentido como um valor maior que zero e proporcional a \pi.

Passo 6

Resumo final e ânimo:
  • Procedimento padrão em provas: identificar a simetria, passar para polares, lembrar do fator r e integrar primeiro a parte em r. Dá para fazer de cabeça sem calculadora.
  • Você já tem o resultado exato e pronto para anotar na prova — tranquilo, foi direto e seguro!

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

Exercícios relacionados