Evaluate the triple integral
\iiint_{E} z d V
where
E=[0,1] \times[0,2] \times[0,3] .

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos.
  • Queremos calcular a integral tripla
\iiint_{E} z\,dV.
  • A região E é o paralelepípedo fechado
E=[0,1]\times[0,2]\times[0,3].
  • Informações úteis que já estão no enunciado:
    • As variáveis x, y, z variam independentemente em intervalos fechados: x\in[0,1], y\in[0,2], z\in[0,3].
    • A medida de volume infinitesimal é dV, que em coordenadas cartesianas é dV=dx\,dy\,dz.
O enunciado pede somente o valor numérico da integral tripla sobre essa região.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): usar integrais iteradas (Teorema de Fubini) e explorar que a região é um produto de intervalos.
Explicação didática do conceito:
  • O Teorema de Fubini diz que, para uma função integrável em um paralelepípedo, a integral tripla pode ser calculada por integrais iteradas em qualquer ordem. Ou seja,
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \int_{x=a}^{b}\int_{y=c}^{d}\int_{z=e}^{f} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx,
quando E=[a,b]\times[c,d]\times[e,f].
  • Aqui a função é f(x,y,z)=z, que não depende de x nem de y. Isso simplifica muito: ao integrar em z obtemos um número que será função constante em x e y, facilitando as integrais seguintes.
  • Também existe uma propriedade prática: se uma função fatoriza como g(x)h(y)k(z) ou depende só de uma variável, a integral sobre um produto de intervalos se separa em produto de integrais. No nosso caso f(x,y,z)=z é dependente só de z, então a integral sobre x e y apenas multiplica pelo comprimento desses intervalos.

Passo 3

Montar a integral iterada adequada.
Usando o Teorema de Fubini e escolhendo a ordem dz\,dy\,dx,
\iiint_{E} z\,dV = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2}\int_{z=0}^{3} z\,dz\,dy\,dx.
Explicação dos termos:
  • O integrando é z.
  • O limite interior \int_{z=0}^{3} calcula a contribuição ao longo da direção z para cada x,y.
  • Depois integramos o resultado em y de 0 a 2 e em x de 0 a 1.

Passo 4

Calcular a integral interna em z.
Precisamos calcular
\int_{z=0}^{3} z\,dz.
Regra e justificativa: a antiderivada de z com respeito a z é \dfrac{z^{2}}{2}, porque derivando \dfrac{z^{2}}{2} obtém-se z. Então aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{3} z\,dz = \left[\dfrac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{3} = \dfrac{3^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2}=\dfrac{9}{2}.

Passo 5

Substituir o resultado da integral em z e integrar em y e x.
Depois da integral em z obtemos uma constante \dfrac{9}{2} (não depende de x nem de y), então
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2}\int_{z=0}^{3} z\,dz\,dy\,dx = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2} \dfrac{9}{2}\,dy\,dx.
Agora integramos em y:
\int_{y=0}^{2} \dfrac{9}{2}\,dy = \dfrac{9}{2}\cdot\left[y\right]_{0}^{2} = \dfrac{9}{2}\cdot 2 = 9.
E finalmente em x:
\int_{x=0}^{1} 9\,dx = 9\cdot\left[x\right]_{0}^{1} = 9\cdot 1 = 9.

Passo 6

Interpretação alternativa (intuitiva) para fixar a ideia.
Outra maneira rápida de ver o mesmo resultado é pensar que a integral do campo escalar z sobre o volume é o produto do volume de E pelo valor médio de z no intervalo [0,3]. O valor médio de z em [0,3] é \dfrac{0+3}{2}=\dfrac{3}{2} (porque para uma função linear z a média é o ponto médio). O volume de E é 1\cdot 2\cdot 3=6. Então o integral é
\text{média de }z \times \text{volume} = \dfrac{3}{2}\cdot 6 = 9,é
confirmando o cálculo.

Resposta

9

Exercícios relacionados