Evaluate the triple integral
where
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos.
- Queremos calcular a integral tripla
- A região
é o paralelepípedo fechado
- Informações úteis que já estão no enunciado:
- As variáveis
, , variam independentemente em intervalos fechados: , , . - A medida de volume infinitesimal é
, que em coordenadas cartesianas é .
- As variáveis
O enunciado pede somente o valor numérico da integral tripla sobre essa região.
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): usar integrais iteradas (Teorema de Fubini) e explorar que a região é um produto de intervalos.
Explicação didática do conceito:
- O Teorema de Fubini diz que, para uma função integrável em um paralelepípedo, a integral tripla pode ser calculada por integrais iteradas em qualquer ordem. Ou seja,
quando
.
- Aqui a função é
, que não depende de nem de . Isso simplifica muito: ao integrar em obtemos um número que será função constante em e , facilitando as integrais seguintes. - Também existe uma propriedade prática: se uma função fatoriza como
ou depende só de uma variável, a integral sobre um produto de intervalos se separa em produto de integrais. No nosso caso é dependente só de , então a integral sobre e apenas multiplica pelo comprimento desses intervalos.
Passo 3
Montar a integral iterada adequada.
Usando o Teorema de Fubini e escolhendo a ordem
,
Explicação dos termos:
- O integrando é
. - O limite interior
calcula a contribuição ao longo da direção para cada . - Depois integramos o resultado em
de a e em de a .
Passo 4
Calcular a integral interna em
.
Precisamos calcular
Regra e justificativa: a antiderivada de
com respeito a
é
, porque derivando
obtém-se
. Então aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 5
Substituir o resultado da integral em
e integrar em
e
.
Depois da integral em
obtemos uma constante
(não depende de
nem de
), então
Agora integramos em
:
E finalmente em
:
Passo 6
Interpretação alternativa (intuitiva) para fixar a ideia.
Outra maneira rápida de ver o mesmo resultado é pensar que a integral do campo escalar
sobre o volume é o produto do volume de
pelo valor médio de
no intervalo
. O valor médio de
em
é
(porque para uma função linear
a média é o ponto médio). O volume de
é
. Então o integral é
confirmando o cálculo.
Resposta
9