Determine whether the vector field
\mathbf{F}(x, y)=\left(2 x y, x^{2}+3 y^{2}\right)
is conservative.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\bigl(2xy,\;x^{2}+3y^{2}\bigr)
é conservativo. As informações dadas são:
  • A componente P(x,y) na direção x é P(x,y)=2xy.
  • A componente Q(x,y) na direção y é Q(x,y)=x^{2}+3y^{2}.
    A pergunta é: existe uma função escalar \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}? Se sim, encontrar \varphi (até constante).

Passo 2

O que significa ser conservativo e como testar isso (explicação didática).
  • Um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo se existe uma função potencial \varphi(x,y) com
\nabla\varphi=(\partial_x\varphi,\partial_y\varphi)=(P,Q).
  • Uma ferramenta prática: se P e Q têm derivadas parciais contínuas em um domínio simplesmente conexo, então \mathbf{F} é conservativo se, e somente se,
\partial_y P(x,y)=\partial_x Q(x,y)
para todos (x,y) do domínio. Essa condição vem do fato de que, para \varphi duas vezes diferenciável, as derivadas mistas iguais (Teorema de Clairaut) implicam essa igualdade.
  • O domínio natural aqui é \mathbb{R}^{2} (todas as coordenadas reais): polinômios são suaves em todo \mathbb{R}^{2}, e \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexo (não tem “buracos”). Portanto podemos aplicar o teste acima sem medo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais envolvidas (mostrando os passos).
  • Calcular \partial_y P(x,y). Como P(x,y)=2xy,
\partial_y P(x,y)=\partial_y\bigl(2xy\bigr)=2x,
pois diferenciando em relação a y tratamos x como constante.
  • Calcular \partial_x Q(x,y). Como Q(x,y)=x^{2}+3y^{2},
\partial_x Q(x,y)=\partial_x\bigl(x^{2}+3y^{2}\bigr)=2x,
pois 3y^{2} é independente de x.

Passo 4

Aplicar o teste e concluir (com explicação).
  • Comparando, obtemos
\partial_y P(x,y)=2x=\partial_x Q(x,y)
para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Como as derivadas parciais são contínuas (são polinômios) e o domínio \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexo, a condição é suficiente. Logo \mathbf{F} é um campo conservativo em \mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Encontrar a função potencial \varphi(x,y) (método e execução, passo a passo).
  • Se \varphi existe, deve valer
\partial_x\varphi(x,y)=P(x,y)=2xy.
Integrando essa igualdade em relação a x (tratando y como constante), obtemos
\varphi(x,y)=\int 2xy\,dx = x^{2}y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
  • Agora usamos a outra componente: \partial_y\varphi(x,y) deve ser Q(x,y). Calculando \partial_y\varphi a partir da expressão acima:
\partial_y\varphi(x,y)=\partial_y\bigl(x^{2}y + h(y)\bigr)=x^{2}+h'(y).
Igualando à componente Q,
x^{2}+h'(y)=x^{2}+3y^{2}.
  • Subtraindo x^{2} dos dois lados:
h'(y)=3y^{2}.
Integrando em relação a y,
h(y)=\int 3y^{2}\,dy = y^{3} + C,
onde C é uma constante real.

Passo 6

Escrever a função potencial final e verificar rapidamente.
  • Assim uma função potencial é
\varphi(x,y)=x^{2}y + y^{3} + C.
  • Verificação rápida (opcional, mas boa prática): \partial_x\varphi=2xy=P e \partial_y\varphi=x^{2}+3y^{2}=Q. Está tudo certo.
  • Observação: a potencial é única salvo adição de constante C.

Resposta

Sim. \mathbf{F} é conservativo.
Uma função potencial é \varphi(x,y)=x^{2}y+y^{3}+C, com C constante.

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