Determine whether the vector field
is conservative.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o campo vetorial
é conservativo. As informações dadas são:
- A componente
na direção é . - A componente
na direção é .
A pergunta é: existe uma função escalartal que ? Se sim, encontrar (até constante).
Passo 2
O que significa ser conservativo e como testar isso (explicação didática).
- Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial com
- Uma ferramenta prática: se
e têm derivadas parciais contínuas em um domínio simplesmente conexo, então é conservativo se, e somente se,
para todos
do domínio. Essa condição vem do fato de que, para
duas vezes diferenciável, as derivadas mistas iguais (Teorema de Clairaut) implicam essa igualdade.
- O domínio natural aqui é
(todas as coordenadas reais): polinômios são suaves em todo , e é simplesmente conexo (não tem “buracos”). Portanto podemos aplicar o teste acima sem medo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais envolvidas (mostrando os passos).
- Calcular
. Como ,
pois diferenciando em relação a
tratamos
como constante.
- Calcular
. Como ,
pois
é independente de
.
Passo 4
Aplicar o teste e concluir (com explicação).
- Comparando, obtemos
para todo
.
- Como as derivadas parciais são contínuas (são polinômios) e o domínio
é simplesmente conexo, a condição é suficiente. Logo é um campo conservativo em .
Passo 5
Encontrar a função potencial
(método e execução, passo a passo).
- Se
existe, deve valer
Integrando essa igualdade em relação a
(tratando
como constante), obtemos
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
- Agora usamos a outra componente:
deve ser . Calculando a partir da expressão acima:
Igualando à componente
,
- Subtraindo
dos dois lados:
Integrando em relação a
,
onde
é uma constante real.
Passo 6
Escrever a função potencial final e verificar rapidamente.
- Assim uma função potencial é
- Verificação rápida (opcional, mas boa prática):
e . Está tudo certo. - Observação: a potencial é única salvo adição de constante
.
Resposta
Sim.
é conservativo.
Uma função potencial é , com
constante.
Uma função potencial é