É comum encontrarmos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas em um piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quisermos firme. Explique, usando argumentos de geometria, por que isso não acontece com uma mesa de 3 pernas.

Passo 1

O enunciado pergunta por que uma mesa com ...3... pernas nunca fica “bamboleante” (isto é, não precisa de calço) quando apoiada num piso plano, enquanto mesas com ...4... pernas podem balançar. As informações relevantes são:
  • O piso é plano (uma superfície plana).
  • A mesa é rígida e tem exatamente ...3... pernas que tocam o chão nos seus extremos inferiores.
  • Não há mais informações sobre comprimentos das pernas, mas pressupõe‑se que as três pernas não estão colineares (ou seja, não estão todas numa mesma reta), caso contrário a mesa seria geometricamente degenerada.

Passo 2

Conceito geométrico fundamental (explicado devagar): três pontos não colineares determinam um plano único. Vou explicar isso de forma concreta, sem jargões complicados.
Considere três pontos distintos A,B,C que não estão todos numa mesma reta. Tome os vetores \vec{AB} e \vec{AC}. Esses dois vetores não são múltiplos um do outro (porque A,B,C não são colineares), então eles geram — tomando todas as combinações lineares A + s\vec{AB} + t\vec{AC} com s,t\in\mathbb{R} — uma superfície plana. Essa superfície é exatamente o plano que passa por A,B,C. Em linguagem simples: há uma e só uma folha lisa e plana que pode passar pelos três pontos dados, desde que esses três pontos não estejam numa reta.
Posso escrever a equação paramétrica desse plano:
\Pi=\{\,A + s\vec{AB} + t\vec{AC} \mid s,t\in\mathbb{R}\,\}.
Isto mostra a existência de um plano. A unicidade pode ser vista porque qualquer outro plano que contivesse A,B,C teria de conter as retas geradas por A com combinações de \vec{AB} e \vec{AC}, ou seja, coincidiria com \Pi.

Passo 3

Aplicando ao caso da mesa: os três pontos relevantes são as extremidades inferiores das pernas (os pontos de contato que poderiam tocar o piso). Chamemos esses pontos de P_1,P_2,P_3. Como normalmente as três pernas não são colineares, existe um plano único \Pi que passa por P_1,P_2,P_3.
Agora pense no piso: ele é um plano, digamos \Pi_{\text{piso}}. Uma peça rígida (a mesa) pode ser rigidamente movida — isto é, transladada e rotacionada no espaço — até que o plano determinado por P_1,P_2,P_3 coincida com o plano do piso. Quando alinhamos \Pi com \Pi_{\text{piso}}, os três pontos P_1,P_2,P_3 ficam exatamente sobre o piso, ou seja, as três pernas tocam o chão ao mesmo tempo. Não há “sobrecarga” de restrições: três pontos impõem exatamente o tipo de condição que permite esse ajuste.
Em termos mais intuitivos: com ...3... pernas há sempre uma maneira de pousar a mesa de modo que as ...3... pontas fiquem na mesma folha plana — porque sempre existe uma folha plana passando por elas.

Passo 4

Contraste com ...4... pernas (para entender por que ...4... pode dar problema): quatro pontos gerais em 3D não precisam ser coplanares. Ou seja, quatro pernas com comprimentos ligeiramente diferentes ou com bases irregulares usualmente não estão todas no mesmo plano. Num piso plano, para que as ...4... pernas toquem simultaneamente é necessário que as quatro extremidades sejam coplanares exatamente, o que raramente acontece por imperfeições de fabricação ou variação no comprimento. Por isso uma mesa de ...4... pernas pode ter uma perna “curta” e balançar — uma das pernas fica fora do plano dos outros três.

Passo 5

Comentário extra (estabilidade contra tombar — outra ideia útil para a prova): mesmo que as ...3... pernas toquem o piso, a mesa só ficará firme (não tombará) se a projeção vertical do centro de massa da mesa cair dentro do triângulo formado pelos pontos de contato P_1P_2P_3. Isso é outra verificação geométrica rápida que às vezes aparece em exercícios: contato simultâneo versus resistência ao tombamento são coisas relacionadas, mas distintas.
Resumo didático e motivacional: a razão-chave e simples que deve ficar na cabeça é esta: três pontos (não colineares) sempre definem um plano único, portanto não há nenhuma contradição em colocar os três pontos no mesmo plano do piso — logo as três pernas tocam ao mesmo tempo. Relaxe: em prova, basta escrever que por três pontos passa um único plano e explicar, em uma linha, que assim as ...3... pernas são coplanares com o piso e não deixam a mesa bambear.

Resposta

Porque três pontos não colineares determinam um plano único; as extremidades das ...3... pernas definem esse plano e podem ser alinhadas com o plano do piso, fazendo com que as três pernas toquem simultaneamente e a mesa não balance.

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