Em uma comunidade industrial, duas fábricas compartilham um canal de drenagem comum. O nível de limpeza
é um bem público, com benefícios individuais:
e custo total
.
Calcule o nível eficiente de limpeza.
Calcule o nível eficiente de limpeza.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados:
- Benefício da fábrica 1:
. - Benefício da fábrica 2:
. - Custo total do nível de limpeza:
.
- Benefício da fábrica 1:
- O que é pedido:
- Calcular o nível eficiente de limpeza
.
- Calcular o nível eficiente de limpeza
Passo 2
Entendendo o que significa “eficiente” aqui (aula curta e direta).
- Para um bem público como o nível de limpeza
, cada unidade de traz benefício marginal para ambas as fábricas ao mesmo tempo. A provisão eficiente maximiza o bem-estar social total, isto é, maximiza a soma dos benefícios privados menos o custo total. - Matematicamente, define-se o bem-estar social (ou excedente social) por
- A condição de ótimo (máximo) é que a derivada de
em relação a seja zero: a soma dos benefícios marginais deve igualar o custo marginal. Em palavras simples: provisionar mais só vale a pena enquanto a soma do quanto cada usuário está disposto a pagar pela unidade marginal for maior que o custo dessa unidade.
Passo 3
Definindo e calculando os benefícios marginais e o custo marginal (explicação do conceito de derivada).
- A derivada de uma função de benefício em relação a
dá o benefício marginal: quanto o benefício aumenta se aumentarmos em uma quantidade infinitesimal. - Calcule as derivadas:
-
-
- O custo marginal é a derivada do custo total:
-
Passo 4
Aplicando a condição de eficiência: soma dos benefícios marginais igual ao custo marginal e resolução.
- A condição é
- Substituindo as expressões encontradas:
- Simplificando:
- Isolando
:
Passo 5
Verificação da segunda ordem (garantir que é máximo) e interpretação rápida.
- A segunda derivada do bem-estar é a soma das segundas derivadas dos benefícios menos a segunda derivada do custo. Como
é linear, sua segunda derivada é zero. - Calculando:
-
-
- Soma:
-
- Como a segunda derivada do bem-estar é negativa, a solução encontrada é de fato um máximo (ótimo social).
- Interpretação numérica:
. Ou seja, a quantidade eficiente de limpeza é cerca de (unidades de ).