Em uma comunidade industrial, duas fábricas compartilham um canal de drenagem comum. O nível de limpeza Q é um bem público, com benefícios individuais:
B_{1}(Q)=60 Q-Q^{2}, \quad B_{2}(Q)=40 Q-\frac{1}{2} Q^{2}
e custo total C(Q)=50 Q.
Calcule o nível eficiente de limpeza.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • Benefício da fábrica 1: B_{1}(Q)=60Q-Q^{2}.
    • Benefício da fábrica 2: B_{2}(Q)=40Q-\dfrac{1}{2}Q^{2}.
    • Custo total do nível de limpeza: C(Q)=50Q.
  • O que é pedido:
    • Calcular o nível eficiente de limpeza Q.

Passo 2

Entendendo o que significa “eficiente” aqui (aula curta e direta).
  • Para um bem público como o nível de limpeza Q, cada unidade de Q traz benefício marginal para ambas as fábricas ao mesmo tempo. A provisão eficiente maximiza o bem-estar social total, isto é, maximiza a soma dos benefícios privados menos o custo total.
  • Matematicamente, define-se o bem-estar social (ou excedente social) por
W(Q)=B_{1}(Q)+B_{2}(Q)-C(Q).
  • A condição de ótimo (máximo) é que a derivada de W em relação a Q seja zero: a soma dos benefícios marginais deve igualar o custo marginal. Em palavras simples: provisionar mais Q só vale a pena enquanto a soma do quanto cada usuário está disposto a pagar pela unidade marginal for maior que o custo dessa unidade.

Passo 3

Definindo e calculando os benefícios marginais e o custo marginal (explicação do conceito de derivada).
  • A derivada de uma função de benefício em relação a Q dá o benefício marginal: quanto o benefício aumenta se aumentarmos Q em uma quantidade infinitesimal.
  • Calcule as derivadas:
    • B_{1}'(Q)=\dfrac{d}{dQ}\big(60Q-Q^{2}\big)=60-2Q.
    • B_{2}'(Q)=\dfrac{d}{dQ}\Big(40Q-\dfrac{1}{2}Q^{2}\Big)=40-Q.
    • O custo marginal é a derivada do custo total: C'(Q)=\dfrac{d}{dQ}\big(50Q\big)=50.

Passo 4

Aplicando a condição de eficiência: soma dos benefícios marginais igual ao custo marginal e resolução.
  • A condição é
B_{1}'(Q)+B_{2}'(Q)=C'(Q).
  • Substituindo as expressões encontradas:
(60-2Q)+(40-Q)=50.
  • Simplificando:
100-3Q=50.
  • Isolando Q:
3Q=100-50=50 \quad\Rightarrow\quad Q=\dfrac{50}{3}.

Passo 5

Verificação da segunda ordem (garantir que é máximo) e interpretação rápida.
  • A segunda derivada do bem-estar é a soma das segundas derivadas dos benefícios menos a segunda derivada do custo. Como C(Q) é linear, sua segunda derivada é zero.
  • Calculando:
    • B_{1}''(Q)=\dfrac{d}{dQ}(60-2Q)=-2.
    • B_{2}''(Q)=\dfrac{d}{dQ}(40-Q)=-1.
    • Soma: B_{1}''(Q)+B_{2}''(Q)=-3<0.
  • Como a segunda derivada do bem-estar é negativa, a solução encontrada é de fato um máximo (ótimo social).
  • Interpretação numérica: \dfrac{50}{3}\approx16,67. Ou seja, a quantidade eficiente de limpeza é cerca de 16{,}67 (unidades de Q).

Resposta

Q=\dfrac{50}{3}\approx16{,}67

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