Duas fábricas químicas compartilham um duto comum. O custo social total é:
Cada firma decide
para maximizar lucro
, com
.
(a) Resolva o equilíbrio de Nash (não cooperativo).
(b) Compare com o resultado cooperativo (ótimo social).
(a) Resolva o equilíbrio de Nash (não cooperativo).
(b) Compare com o resultado cooperativo (ótimo social).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Função do custo social total:
- Preço percebido por cada firma (dependendo só da sua própria produção):
- Lucro da firma
:
O que é pedido:
(a) Encontrar o equilíbrio de Nash (cada firma escolhe maximizando
levando a produção da outra como dada).
(b) Comparar esse resultado com o resultado cooperativo (ótimo social) — isto é, o quantitativo que maximiza o interesse social, explicando se coincide ou não com o Nash.
(a) Encontrar o equilíbrio de Nash (cada firma escolhe
(b) Comparar esse resultado com o resultado cooperativo (ótimo social) — isto é, o quantitativo que maximiza o interesse social, explicando se coincide ou não com o Nash.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente o lucro da firma
. Substituindo
na expressão de
:
Explicando termo a termo:
-
é a receita da firma : preço que ela obtém multiplicado pela sua quantidade. - O custo social
aparece subtraído integralmente do lucro de cada firma segundo o enunciado.
Passo 3
Para encontrar o melhor comportamento de cada firma (melhor resposta), derivamos
em relação a
e igualamos a zero (condição de primeira ordem). Vou mostrar passo a passo a derivação:
A função
é
Derivando em relação a
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
em relação a é (pois depende de ). - Derivada de
em relação a é (pela regra da cadeia: , e aqui , cuja derivada em relação a é ).
Somando:
Simplificando:
Como
(com
), podemos reescrever:
A condição de primeira ordem (melhor resposta) é:
Passo 4
Das condições de primeira ordem para as duas firmas obtemos o sistema:
Para resolver, use simetria (o sistema é simétrico), suponha
. Substituindo:
Logo:
Portanto o equilíbrio de Nash (simétrico) é
e a oferta total é
Passo 5
Vamos calcular alguns números úteis para interpretação (preço, receita, custo, lucro por firma e bem social):
- Preço recebido por cada firma (lembre que
depende só de ):
- Receita de cada firma:
- Custo social total para
:
- Lucro de cada firma segundo a definição do enunciado (cada uma subtrai o custo total):
- Soma das receitas é
. O bem-estar social (receita total menos o custo social, que é a medida natural de interesse público) é
Passo 6
Agora formulamos o problema cooperativo (ótimo social). Explicação do critério: o ótimo social deve maximizar o excedente social, isto é, a soma das receitas das firmas menos o custo social total (o custo social aparece uma única vez). Portanto o objetivo social é:
Note que isto difere da soma dos lucros privados
, porque nessa soma o custo
apareceria duas vezes (cada firma subtrai o custo total), o que não é correto ao medir o bem-estar social.
Passo 7
Calculamos as condições de ótimo social (derivadas parciais nulas). Escrevendo
explicitamente:
Derivando em relação a
(o cálculo é idêntico ao que fizemos para
):
Igualando a zero obtemos a mesma equação que a condição de melhor resposta anterior:
Pelo mesmo raciocínio para
obtemos
Portanto o sistema de primeira ordem do ótimo social é exatamente o mesmo que o sistema derivado para o equilíbrio de Nash. Isso implica que, neste modelo particular, o equilíbrio não cooperativo coincide com o ótimo social. Repetindo o passo de solução simétrica:
Passo 8
Interpretação e comparação final (motivação intuitiva): a coincidência ocorre porque, embora cada firma subtraia o custo total
ao maximizar seu lucro, a derivada daquela parcela de custo em relação a
é exatamente a mesma que aparece na condição de otimização social (pois o custo depende apenas da soma
e tanto o ótimo social quanto cada firma enfrentam o mesmo efeito marginal desse custo sobre a sua escolha). Em outras palavras, a internalização do efeito marginal do aumento de
sobre o custo total já está embutida na função de lucro dada pelo enunciado, fazendo com que as condições de primeira ordem coincidam.
Resumo numérico:
- Equilíbrio de Nash:
, preço por firma , lucro por firma , bem-estar social . - Ótimo social:
(mesmo resultado em quantidades). Portanto, neste caso, o resultado cooperativo coincide com o não cooperativo.
Resposta
(a) Equilíbrio de Nash:
(quantidade total
).
(b) Ótimo social (cooperativo): (quantidade total
); coincide com o Nash.
(b) Ótimo social (cooperativo):