Duas fábricas químicas compartilham um duto comum. O custo social total é:
C\left(Q_{1}, Q_{2}\right)=10\left(Q_{1}+Q_{2}\right)+0,5\left(Q_{1}+Q_{2}\right)^{2}
Cada firma decide Q_{i} para maximizar lucro \pi_{i}=P\left(Q_{i}\right) Q_{i}-C\left(Q_{1}, Q_{2}\right), com P\left(Q_{i}\right)=100-Q_{i}.
(a) Resolva o equilíbrio de Nash (não cooperativo).
(b) Compare com o resultado cooperativo (ótimo social).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Função do custo social total:
C\left(Q_{1},Q_{2}\right)=10\left(Q_{1}+Q_{2}\right)+0,5\left(Q_{1}+Q_{2}\right)^{2}.
  • Preço percebido por cada firma (dependendo só da sua própria produção):
P\left(Q_{i}\right)=100-Q_{i}.
  • Lucro da firma i:
\pi_{i}=P\left(Q_{i}\right)Q_{i}-C\left(Q_{1},Q_{2}\right).
O que é pedido:
(a) Encontrar o equilíbrio de Nash (cada firma escolhe Q_{i} maximizando \pi_{i} levando a produção da outra como dada).
(b) Comparar esse resultado com o resultado cooperativo (ótimo social) — isto é, o quantitativo que maximiza o interesse social, explicando se coincide ou não com o Nash.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente o lucro da firma i. Substituindo P\left(Q_{i}\right) na expressão de \pi_{i}:
\pi_{i}=(100-Q_{i})Q_{i}-\bigl[\,10(Q_{1}+Q_{2})+0,5(Q_{1}+Q_{2})^{2}\bigr].
Explicando termo a termo:
  • (100-Q_{i})Q_{i} é a receita da firma i: preço que ela obtém multiplicado pela sua quantidade.
  • O custo social C(Q_{1},Q_{2}) aparece subtraído integralmente do lucro de cada firma segundo o enunciado.

Passo 3

Para encontrar o melhor comportamento de cada firma (melhor resposta), derivamos \pi_{i} em relação a Q_{i} e igualamos a zero (condição de primeira ordem). Vou mostrar passo a passo a derivação:
A função \pi_{i} é
\pi_{i}=100Q_{i}-Q_{i}^{2}-10(Q_{1}+Q_{2})-0,5(Q_{1}+Q_{2})^{2}.
Derivando em relação a Q_{i}:
  • Derivada de 100Q_{i} é 100.
  • Derivada de -Q_{i}^{2} é -2Q_{i}.
  • Derivada de -10(Q_{1}+Q_{2}) em relação a Q_{i} é -10 (pois Q_{1}+Q_{2} depende de Q_{i}).
  • Derivada de -0,5(Q_{1}+Q_{2})^{2} em relação a Q_{i} é - (Q_{1}+Q_{2}) (pela regra da cadeia: d[-0,5 X^{2}]/dX = -X, e aqui X=Q_{1}+Q_{2}, cuja derivada em relação a Q_{i} é 1).
Somando:
\frac{\partial \pi_{i}}{\partial Q_{i}}=100-2Q_{i}-10-(Q_{1}+Q_{2}).
Simplificando:
\frac{\partial \pi_{i}}{\partial Q_{i}}=90-2Q_{i}-(Q_{1}+Q_{2}).
Como Q_{1}+Q_{2}=Q_{i}+Q_{j} (com j\neq i), podemos reescrever:
\frac{\partial \pi_{i}}{\partial Q_{i}}=90-2Q_{i}-Q_{i}-Q_{j}=90-3Q_{i}-Q_{j}.
A condição de primeira ordem (melhor resposta) é:
90-3Q_{i}-Q_{j}=0.

Passo 4

Das condições de primeira ordem para as duas firmas obtemos o sistema:
\begin{cases} 90-3Q_{1}-Q_{2}=0,\\[4pt] 90-Q_{1}-3Q_{2}=0. \end{cases}
Para resolver, use simetria (o sistema é simétrico), suponha Q_{1}=Q_{2}=q. Substituindo:
90-3q-q=0 \quad\Rightarrow\quad 90-4q=0.
Logo:
q=\frac{90}{4}=22,5.
Portanto o equilíbrio de Nash (simétrico) é
Q_{1}=Q_{2}=22,5,
e a oferta total é
Q_{T}=Q_{1}+Q_{2}=45.]

Passo 5

Vamos calcular alguns números úteis para interpretação (preço, receita, custo, lucro por firma e bem social):
  • Preço recebido por cada firma (lembre que P depende só de Q_{i}):
P(22,5)=100-22,5=77,5.
  • Receita de cada firma:
R_{i}=P(Q_{i})Q_{i}=77,5\times22,5=1\,743,75.
  • Custo social total para Q_{T}=45:
C(22,5,22,5)=10\times45+0,5\times45^{2}=450+0,5\times2\,025=450+1\,012,5=1\,462,5.
  • Lucro de cada firma segundo a definição do enunciado (cada uma subtrai o custo total):
\pi_{i}=R_{i}-C=1\,743,75-1\,462,5=281,25.
  • Soma das receitas é 2\times1\,743,75=3\,487,5. O bem-estar social (receita total menos o custo social, que é a medida natural de interesse público) é
S=3\,487,5-1\,462,5=2\,025.

Passo 6

Agora formulamos o problema cooperativo (ótimo social). Explicação do critério: o ótimo social deve maximizar o excedente social, isto é, a soma das receitas das firmas menos o custo social total (o custo social aparece uma única vez). Portanto o objetivo social é:
S(Q_{1},Q_{2})=(100-Q_{1})Q_{1}+(100-Q_{2})Q_{2}-C(Q_{1},Q_{2}).
Note que isto difere da soma dos lucros privados \pi_{1}+\pi_{2}, porque nessa soma o custo C apareceria duas vezes (cada firma subtrai o custo total), o que não é correto ao medir o bem-estar social.

Passo 7

Calculamos as condições de ótimo social (derivadas parciais nulas). Escrevendo S explicitamente:
S=100Q_{1}-Q_{1}^{2}+100Q_{2}-Q_{2}^{2}-10(Q_{1}+Q_{2})-0,5(Q_{1}+Q_{2})^{2}.
Derivando em relação a Q_{1} (o cálculo é idêntico ao que fizemos para \pi_{i}):
\frac{\partial S}{\partial Q_{1}}=100-2Q_{1}-10-(Q_{1}+Q_{2})=90-3Q_{1}-Q_{2}.
Igualando a zero obtemos a mesma equação que a condição de melhor resposta anterior:
90-3Q_{1}-Q_{2}=0.
Pelo mesmo raciocínio para Q_{2} obtemos
90-Q_{1}-3Q_{2}=0.
Portanto o sistema de primeira ordem do ótimo social é exatamente o mesmo que o sistema derivado para o equilíbrio de Nash. Isso implica que, neste modelo particular, o equilíbrio não cooperativo coincide com o ótimo social. Repetindo o passo de solução simétrica:
Q_{1}=Q_{2}=22,5,\qquad Q_{T}=45.

Passo 8

Interpretação e comparação final (motivação intuitiva): a coincidência ocorre porque, embora cada firma subtraia o custo total C(Q_{1}+Q_{2}) ao maximizar seu lucro, a derivada daquela parcela de custo em relação a Q_{i} é exatamente a mesma que aparece na condição de otimização social (pois o custo depende apenas da soma Q_{1}+Q_{2} e tanto o ótimo social quanto cada firma enfrentam o mesmo efeito marginal desse custo sobre a sua escolha). Em outras palavras, a internalização do efeito marginal do aumento de Q_{i} sobre o custo total já está embutida na função de lucro dada pelo enunciado, fazendo com que as condições de primeira ordem coincidam.
Resumo numérico:
  • Equilíbrio de Nash: Q_{1}=Q_{2}=22,5, preço por firma P=77,5, lucro por firma \pi_{i}=281,25, bem-estar social S=2\,025.
  • Ótimo social: Q_{1}=Q_{2}=22,5 (mesmo resultado em quantidades). Portanto, neste caso, o resultado cooperativo coincide com o não cooperativo.

Resposta

(a) Equilíbrio de Nash: Q_{1}=Q_{2}=22,5 (quantidade total Q_{T}=45).
(b) Ótimo social (cooperativo): Q_{1}=Q_{2}=22,5 (quantidade total Q_{T}=45); coincide com o Nash.

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