Um fabricante de equipamentos industriais terceiriza a manutenção para pequenas oficinas locais. O investimento em manutenção preventiva m reduz a probabilidade de falhas e gera aprendizado difuso na rede (externalidade positiva). O benefício marginal privado é B M P(m)=50-2 m e o benefício marginal social é B M S(m)=50-2 m+10.
(a) Determine os níveis de investimento privado e socialmente ótimo.
(b) Calcule o subsídio eficiente.

Passo 1

O enunciado dá as funções do benefício marginal do investimento em manutenção m:
  • benefício marginal privado: B M P(m)=50-2m,
  • benefício marginal social: B M S(m)=50-2m+10=60-2m.
O que se pede:
(a) determinar o nível de investimento privado (decisão sem internalizar a externalidade) e o nível socialmente ótimo (decisão que leva em conta o benefício social total);
(b) calcular o subsídio eficiente que faz com que o private escolha o nível socialmente ótimo.

Passo 2

Conceito e hipótese usada: o nível ótimo de investimento é aquele em que o benefício marginal do agente que toma a decisão se iguala ao custo marginal do investimento. O enunciado não fornece uma função de custo marginal. Nesses exercícios é comum assumir que o custo marginal do investidor é nulo ou que a escolha ótima ocorre quando o benefício marginal cai até zero (ou seja, o agente pára de investir quando a utilidade adicional é zero). Então usaremos a condição de primeira ordem
\text{marginal benefit} = 0,
aplicada ao benefício marginal privado para achar o nível privada e ao benefício marginal social para achar o nível social. (Se houvesse uma função de custo marginal MC(m), a condição seria BMP(m)=MC(m) para o privado e BMS(m)=MC(m) para o social; a lógica seria a mesma.)

Passo 3

Cálculo do nível de investimento privado. Usamos a condição B M P(m)=0.
50-2m=0
Resolvendo para m:
2m=50 \quad\Rightarrow\quad m= \frac{50}{2}=25.
Portanto o nível de investimento privado é m=25.

Passo 4

Cálculo do nível socialmente ótimo. Usamos a condição B M S(m)=0.
60-2m=0
Resolvendo para m:
2m=60 \quad\Rightarrow\quad m=\frac{60}{2}=30.
Portanto o nível socialmente ótimo é m=30.

Passo 5

Explicação do subsídio eficiente. A externalidade positiva é a diferença entre o benefício marginal social e o privado:
B M S(m)-B M P(m)=(60-2m)-(50-2m)=10.
Isso mostra que a externalidade marginal é constante e igual a 10 por unidade de m. Um subsídio por unidade s eficiente deve aumentar o benefício marginal privado em s de modo que o privado enfrente o benefício marginal social, isto é,
B M P(m)+s = B M S(m).
Como B M S(m)-B M P(m)=10 para todo m, basta escolher
s=10.
Com esse subsídio por unidade, o investidor privado resolve 50-2m+10=0, ou seja 60-2m=0, obtendo m=30, que é o nível socialmente ótimo. Assim o subsídio por unidade s=10 internaliza a externalidade.

Passo 6

Comentário prático (opcional): o custo fiscal total do subsídio, se o governo concede s=10 por cada unidade e o investimento efetivo for o ótimo social m=30, seria 10\times 30=300 (nas mesmas unidades monetárias usadas para m e benefícios).

Resposta

(a) m_{\text{privado}}=25,\; m_{\text{social}}=30
(b) subsídio eficiente por unidade s=10

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