Uma usina de biocombustível enfrenta a decisão de investir em uma estação meteorológica compartilhada. O benefício marginal agregado é
e o custo marginal é
.
(a) Calcule
.
(b) Calcule o bem-estar social resultante no ótimo.
(a) Calcule
(b) Calcule o bem-estar social resultante no ótimo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados (pegos do enunciado):
- A vantagem marginal agregada é
. - O custo marginal é
.
- A vantagem marginal agregada é
-
Perguntas:
- (a) Calcular
(a quantidade ótima a ser fornecida). - (b) Calcular o bem-estar social resultante no ótimo.
- (a) Calcular
Passo 2
Qual é a condição para o ótimo social aqui e por quê? Explicando de forma didática e calma:
- Em problemas de provisão ótima de um bem público ou de um projeto compartilhado, a regra de eficiência é igualar a vantagem marginal agregada ao custo marginal, isto é, provisionar até o ponto em que o benefício adicional de um pequeno aumento da quantidade é igual ao custo adicional. Em termos matemáticos usamos a condição
- Aqui já nos foi dada a vantagem marginal agregada (somatório dos benefícios marginais) e o custo marginal. Então vamos aplicar essa condição para encontrar
.
Passo 3
Resolver a equação
passo a passo.
- Escrevendo as funções:
- Igualando e isolando
:
Subtraindo
dos dois lados:
Somando
aos dois lados:
Dividindo por
:
Portanto a quantidade ótima é
.
Passo 4
Verificação da condição de segunda ordem (garantir que é máximo social):
- A função de excedente marginal
tem derivada
- Como a derivada é negativa (
), a diferença é decrescente e o ponto onde se zera é um máximo único de bem-estar. Logo é realmente o ótimo.
Passo 5
Como calcular o bem-estar social total no ótimo? Explicação didática:
- O bem-estar social (excedente total) associado a uma quantidade
é a área entre a curva e a curva desde até . Em cálculo isso é
- Ou seja, integramos a diferença entre benefício marginal e custo marginal ao longo da quantidade fornecida.
Passo 6
Calcular a integral passo a passo.
- Primeiro escrevemos a diferença:
- A integral é
- Encontrar a primitiva (antiderivada):
Observação:
.
- Avaliar entre
e :
- Calcular os termos separadamente:
- Subtraindo:
Portanto o bem-estar social resultante no ótimo é
(unidades monetárias).
Passo 7
Resumo final e um empurrãozinho de ânimo: encontramos a quantidade ótima igualando vantagem marginal a custo marginal e integramos a diferença para obter o excedente social. Está feito — com calma e passo a passo dá pra resolver tranquilo. Você consegue!