Uma usina de biocombustível enfrenta a decisão de investir em uma estação meteorológica compartilhada. O benefício marginal agregado é M B(Q)= 200-4 Q e o custo marginal é M C(Q)=40+Q.
(a) Calcule Q^{*}.
(b) Calcule o bem-estar social resultante no ótimo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • A vantagem marginal agregada é M B(Q)=200-4Q.
    • O custo marginal é M C(Q)=40+Q.
  • Perguntas:
    • (a) Calcular Q^{*} (a quantidade ótima a ser fornecida).
    • (b) Calcular o bem-estar social resultante no ótimo.

Passo 2

Qual é a condição para o ótimo social aqui e por quê? Explicando de forma didática e calma:
  • Em problemas de provisão ótima de um bem público ou de um projeto compartilhado, a regra de eficiência é igualar a vantagem marginal agregada ao custo marginal, isto é, provisionar até o ponto em que o benefício adicional de um pequeno aumento da quantidade é igual ao custo adicional. Em termos matemáticos usamos a condição
M B(Q)=M C(Q).
  • Aqui já nos foi dada a vantagem marginal agregada (somatório dos benefícios marginais) e o custo marginal. Então vamos aplicar essa condição para encontrar Q^{*}.

Passo 3

Resolver a equação M B(Q)=M C(Q) passo a passo.
  • Escrevendo as funções:
M B(Q)=200-4Q, \qquad M C(Q)=40+Q.
  • Igualando e isolando Q:
200-4Q = 40+Q.
Subtraindo 40 dos dois lados:
160-4Q = Q.
Somando 4Q aos dois lados:
160 = 5Q.
Dividindo por 5:
Q^{*} = \frac{160}{5} = 32.
Portanto a quantidade ótima é Q^{*}=32.

Passo 4

Verificação da condição de segunda ordem (garantir que é máximo social):
  • A função de excedente marginal M B(Q)-M C(Q) tem derivada
\frac{d}{dQ}\big(M B(Q)-M C(Q)\big)=\frac{d}{dQ}\big(200-4Q-(40+Q)\big)=\frac{d}{dQ}\big(160-5Q\big)=-5.
  • Como a derivada é negativa ( -5<0), a diferença M B-M C é decrescente e o ponto onde se zera é um máximo único de bem-estar. Logo Q^{*}=32 é realmente o ótimo.

Passo 5

Como calcular o bem-estar social total no ótimo? Explicação didática:
  • O bem-estar social (excedente total) associado a uma quantidade Q^{*} é a área entre a curva M B(Q) e a curva M C(Q) desde Q=0 até Q=Q^{*}. Em cálculo isso é
W = \int_{0}^{Q^{*}}\big(M B(Q)-M C(Q)\big)\,dQ.
  • Ou seja, integramos a diferença entre benefício marginal e custo marginal ao longo da quantidade fornecida.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo.
  • Primeiro escrevemos a diferença:
M B(Q)-M C(Q)= (200-4Q)-(40+Q)=160-5Q.
  • A integral é
W = \int_{0}^{32} (160-5Q)\,dQ.
  • Encontrar a primitiva (antiderivada):
\int (160-5Q)\,dQ = 160Q - \frac{5}{2}Q^{2}.
Observação: \dfrac{5}{2}=2{,}5.
  • Avaliar entre 0 e 32:
W = \Big[160Q - \frac{5}{2}Q^{2}\Big]_{0}^{32} = \Big(160\cdot 32 - \frac{5}{2}\cdot 32^{2}\Big) - 0.
  • Calcular os termos separadamente:
160\cdot 32 = 5120,
32^{2}=1024,\qquad \frac{5}{2}\cdot 1024 = 2{,}5\cdot 1024 = 2560.
  • Subtraindo:
W = 5120 - 2560 = 2560.
Portanto o bem-estar social resultante no ótimo é 2560 (unidades monetárias).

Passo 7

Resumo final e um empurrãozinho de ânimo: encontramos a quantidade ótima igualando vantagem marginal a custo marginal e integramos a diferença para obter o excedente social. Está feito — com calma e passo a passo dá pra resolver tranquilo. Você consegue!

Resposta

Q^{*}=32
W=2560

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