Numa comunidade onde
pessoas são suscetíveis a um determinado vírus, a taxa de propagação do vírus é conjuntamente proporcional ao número de pessoas que o contrairam e ao número de pessoas suscetíveis que não o contraíram. Se
dos suscetíveis contrairam o virus inicialmente e
foram infectados após 3 semanas, qual a porcentagem dos suscetíveis que foram infectados após 6 semanas?
Passo 1
O enunciado pede a fração de pessoas suscetíveis infectadas num modelo em que a taxa de propagação é proporcional ao número de infectados e ao número de suscetíveis não infectados. O conteúdo aplicado aqui é a equação logística, e vamos precisar usar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Modelamos o número de infectados em função do tempo por
. A equação diferencial logística é:
onde
é o total de suscetíveis e
é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
A solução geral da logística, obtida por separação de variáveis ou consulta de fórmula, é:
com a constante
determinada pela condição inicial.
Passo 4
Usando
, temos
Passo 5
Sabemos também que
. Substituindo em
:
Logo,
Passo 6
Para
semanas,
Passo 7
Portanto,
, ou seja, 50% dos suscetíveis foram infectados após 6 semanas.
Resposta
50%