Numa comunidade onde A pessoas são suscetíveis a um determinado vírus, a taxa de propagação do vírus é conjuntamente proporcional ao número de pessoas que o contrairam e ao número de pessoas suscetíveis que não o contraíram. Se 10 % dos suscetíveis contrairam o virus inicialmente e 25 % foram infectados após 3 semanas, qual a porcentagem dos suscetíveis que foram infectados após 6 semanas?

Passo 1

O enunciado pede a fração de pessoas suscetíveis infectadas num modelo em que a taxa de propagação é proporcional ao número de infectados e ao número de suscetíveis não infectados. O conteúdo aplicado aqui é a equação logística, e vamos precisar usar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Modelamos o número de infectados em função do tempo por I(t). A equação diferencial logística é:
dIdt=k,I,(A-I)
onde A é o total de suscetíveis e k>0 é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

A solução geral da logística, obtida por separação de variáveis ou consulta de fórmula, é:
I(t)=A1+C,e^-kA t
com a constante C determinada pela condição inicial.

Passo 4

Usando I(0)=0,1A, temos
0,1A=A1+Cimplies 1+C=10implies C=9

Passo 5

Sabemos também que I(3)=0,25A. Substituindo em I(t):
0,25A=A1+9e^-kAcdot3implies 1+9e^-3kA=4implies e^-3kA=tfrac13
Logo,
kA=ln33

Passo 6

Para t=6 semanas,
I(6)=A1+9e^-kAcdot6=A1+9l(e^-3kAr)^2=A1+9,(1/3)^2=A2

Passo 7

Portanto, I(6)/A=1/2, ou seja, 50% dos suscetíveis foram infectados após 6 semanas.

Resposta

50%

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