Determine o que se pede sobre as funções dadas abaixo.
Determine e esboce o domínio e imagem de
.
Determine e esboce o domínio e imagem de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos e esboçarmos o domínio e a imagem da função
. Isso envolve entender para quais valores de
e
a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente a função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. A função cosseno está definida para todos os números reais, ou seja, não há restrições nos valores de
e
. Isso significa que podemos inserir qualquer valor real para
e
e a função vai funcionar. Portanto, o domínio de
é o conjunto de todos os pares ordenados
onde
e
são números reais.
Matematicamente, podemos escrever o domínio como:
onde
representa o conjunto de todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função
. A função cosseno sempre retorna valores entre -1 e 1, independentemente do que for passado dentro dela. Isso significa que, para qualquer
e
, o valor de
será sempre maior ou igual a -1 e menor ou igual a 1.
Então, a imagem de
é o intervalo de valores reais de -1 a 1, inclusive.
Matematicamente, podemos expressar a imagem como:
Resposta
Domínio: Todos os pares
onde
e
são números reais, ou seja,
.
Imagem: O intervalo de -1 a 1, inclusive, ou seja,
.