Determine o que se pede sobre as funções dadas abaixo.
Determine e esboce o domínio e imagem de f(x, y)=cos (x+2 y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos e esboçarmos o domínio e a imagem da função . Isso envolve entender para quais valores de e a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente a função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função Domínio = R times R . A função cosseno está definida para todos os números reais, ou seja, não há restrições nos valores de e . Isso significa que podemos inserir qualquer valor real para e e a função vai funcionar. Portanto, o domínio de é o conjunto de todos os pares ordenados onde e são números reais.
Matematicamente, podemos escrever o domínio como:
í
onde representa o conjunto de todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função Ima>=m = z in R mid -1 <= z <= 1 . A função cosseno sempre retorna valores entre -1 e 1, independentemente do que for passado dentro dela. Isso significa que, para qualquer e , o valor de será sempre maior ou igual a -1 e menor ou igual a 1.
Então, a imagem de é o intervalo de valores reais de -1 a 1, inclusive.
Matematicamente, podemos expressar a imagem como:

Resposta

Domínio: Todos os pares onde e são números reais, ou seja, .
Imagem: O intervalo de -1 a 1, inclusive, ou seja, .

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