Desenhe as curvas de nível Ck para os valores de k dados.
f(x, y)=2-x^2-y^2, k=-2,-1,0,1,2.

Passo 1

A questão pede para desenhar as curvas de nível de uma função de duas variáveis, isto é, os lugares geométricos definidos por f(x,y)=k. O conteúdo é curvas de nível (ou nível-sets) e vamos precisar usar a definição f(x,y)=k para obter a equação de cada curva.

Passo 2

Aplicando a definição de curva de nível, igualamos f(x,y) a cada valor k:
2 - x^2 - y^2 = k
Reorganizando a equação, obtemos
x^2 + y^2 = 2 - k

Passo 3

Para que essa curva exista no plano real, precisamos de 2 - k >= 0, ou seja k <= 2. Como os valores fornecidos são -2,-1,0,1,2, todos satisfazem essa condição.

Passo 4

Agora basta calcular o raio de cada círculo usando r = raiz2 - k:
• Para k = -2: r = raiz2 - (-2) = 2
• Para k = -1: r = raiz2 - (-1) = raiz3
• Para k = 0: r = raiz2
• Para k = 1: r = 1
• Para k = 2: r = 0

Passo 5

As curvas de nível são, portanto, círculos concêntricos centrados na origem com raios 2,raiz3,raiz2,1,0 correspondentes aos valores de k=-2,-1,0,1,2.

Resposta

As curvas de nível são círculos de equação x^2+y^2=2-k centrados na origem, com raios:
  • para k=-2: raio 2
  • para k=-1: raio raiz3
  • para k=0: raio raiz2
  • para k=1: raio 1
  • para k=2: raio 0

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