Nos Exercícios de 21 a 28, calcule a integral definida.
integral0^4 (x-2) d x2 x^2+7 x+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de
integral0^4 x-22x^2+7x+3,dx
Isso envolve frações parciais e a integração de funções racionais do tipo 1/(ax+b).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador. Note que
2x^2+7x+3=0
tem raízes dadas por
x=-7pmraiz49-244=-7pm54
ou seja, x=-3 e x=-1/2, logo
2x^2+7x+3=(x+3)(2x+1)

Passo 3

Agora escrevemos a decomposição em frações parciais: queremos A e B tais que
x-2(x+3)(2x+1)=Ax+3+B2x+1
Multiplicando ambos os lados por (x+3)(2x+1) obtemos
x-2=A(2x+1)+B(x+3)
Isso dá o sistema:
2A+B=1, A+3B=-2
Resolvendo, achamos A=1 e B=-1. Assim
x-22x^2+7x+3=1x+3-12x+1

Passo 4

Agora integramos termo a termo. A primitiv da decomposição é
integral 1x+3,dx-integral 12x+1,dx=ln|x+3|-12ln|2x+1|+C,
pois integral1/(ax+b)dx=(1/a)ln|ax+b|+C.

Passo 5

Finalmente avaliamos de 0 a 4:
F(x)=ln(x+3)-tfrac12ln(2x+1),
o que dá
F(4)-F(0)=l[ln7-tfrac12ln9r]-l[ln3-tfrac12ln1r] =ln7-ln3-ln3=ln79

Resposta

ln79

Exercícios relacionados